一．选择题（共10小题） 1．9的平方根是（ ） A．±3 2．使
B．3
有意义的x的取值范围是（ ）
B．x＜3
C．x≥3
D．x＞3
C．9
D．±9
A．x≤3
3．已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长是（ ） A．5 4．下列各数：﹣加1），A．3
，
B．25 ，0.16，，0.23，
B．4
C．
D．5或
，﹣π，2.010010001（相邻两个1之间0的个数逐次，是无理数的有（ ）个．
C．5
D．6
5．现在人们锻炼身体的意识日渐増强，但是一些人保护环境的意识却很淡薄，如图是兴庆公园的一角，有人为了抄近道而避开横平竖直的路的拐角∠ABC，而走“捷径AC’于是在草坪内走出了一条不该有的“路AC”，已知AB＝40米，BC＝30米，他们踩坏了___米的草坪，只为少走___米路（ ）
A．20、50
B．50、20
C．20、30
D．30、20
6．下列说法错误的是（ ）
A．在△ABC中，若∠B＝∠C﹣∠A，则△ABC是直角三角形 B．在△ABC中，若a＝（b+c）（b﹣c），则△ABC是直角三角形 C．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则△ABC是直角三角形 D．在△ABC中，若a：b：c＝5：4：3，则△ABC是直角三角形 7．下列说法中
①无限小数是无理数； ②无理数是无限小数；
③无理数的平方一定是无理数； ④实数与数轴上的点是一一对应的．
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2
正确的个数是（ ） A．1 8．已知A．
＝a，
B．2 ＝b，则
B．
C．3
＝（ ）
C．
D．
D．4
9．甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是40m/min，甲客轮15min到达点A，乙客轮用20min到达B点，若A、B两点的直线距离为1000m．甲客轮沿北偏东30°的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是（ ） A．南偏东60°
B．南偏西30°
C．北偏西30°
D．南偏西60°
10．如图所示，在矩形纸片ABCD中，AB＝3，BC＝5．折叠纸片使点A落在边BC上的A′处，折痕为PQ．当点A′在边BC上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．若限定点P、Q分别在边AB、AD上移动，则点A′在边BC上可移动的最大距离为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
二．填空题（共6小题）
11．已知一个正数的两个平方根分别是2m﹣6和3+m，则m的值为 ．
12．如图，所有阴影部分的四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形A、
B、C的面积依次为2、4、3，则正方形D的面积为 ．
13．设A＝
+
，B＝
+
，则A、B中数值较小的是 ．
称为的差倒数．如：2的差倒数是
2
14．a是不为1的有理数，我们把差倒数是
＝﹣1，﹣1的
．已知a1＝﹣，a是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，是a4是a3
的差倒数，…，依此类推，则a2019＝ ． 15．已知|2019﹣a|+
＝a，求a﹣2019的值是 ．
2
16．如图，等腰直角三角形ABC的直角边的长是a，AD⊥BD，且AD＝3BD，则△BCD的面积
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是 ．
三．解答题（共8小题） 17．计算 （1）（2）（（3）（2
﹣1+3）
﹣2
﹣4； ）×
2018
﹣6﹣3）
；
2019
（2；
﹣3）
0
（4）（﹣3）+18．在数轴上作出﹣
﹣|1﹣2|﹣（
的对应点．
19．如图是美国总统Garfield于16年给出的一种验证勾股定理的办法，你能利用它证明勾股定理吗？请写出你的证明过程．（提示：如图三个三角形均是直角三角形）
20．已知a，b，c满足（a﹣（1）求a，b，c的值；
（2）试问以a，b，c为边长能否构成直角三角形？若能构成，求出三角形的面积，若不能，请说明理由．
21．如图，一个放置在地面上的长方体，长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B与点C的距离为5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是多少？
）+
2
+|c﹣2|＝0．
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22．在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如还可以将其进一步化简
＝
＝
，，
，＝
一样的式子，其实我们
＝
；
＝
＝＝﹣1，
以上这种化简的方法叫做分母有理化． （1）请化简（2）矩形的面积为3（3）化简
＝
；
+1，一边长为
+
﹣2，则它的周长是多少？ +…+
＝ ．
23．如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE与CD相交于点O，且OE＝OD，BE与CD交于点G． （1）求证：AP＝DG； （2）求线段AP的长．
24．联想我们曾经学习过的三角形外心的概念，我们可引入准外心的定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．请回答下面的三个问题：
（1）如图1，若PB＝PC，则点P为△ABC的准外心，而且我们知道满足此条件的准外心有无数多个，你能否用尺规作出另外一个准外心Q呢？请尝试完成；
（2）如图2，已知△ABC为直角三角形，斜边BC＝5，AB＝3，准外心P在AC边上，试探究PA的长；
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（3）如图3，点B既是△EDC又是△ADC的准外心，BD＝BA＝BC＝2AD，BD∥AC，CD＝，
求AD的值．
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参与试题解析
一．选择题（共10小题） 1．9的平方根是（ ） A．±3
B．3
C．9
D．±9
【分析】根据平方根的定答即可． 【解答】解：9的平方根是±3， 故选：A． 2．使
有意义的x的取值范围是（ ）
B．x＜3
C．x≥3
D．x＞3
A．x≤3
【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 【解答】解：∵式子∴x﹣3≥0， 解得x≥3． 故选：C．
3．已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长是（ ） A．5
B．25
C．
D．5或
有意义，
【分析】分为两种情况：①斜边是4有一条直角边是3，②3和4都是直角边，根据勾股定理求出即可．
【解答】解：
＝
；
分为两种情况：①斜边是4有一条直角边是3，由勾股定理得：第三边长是②3和4都是直角边，由勾股定理得：第三边长是即第三边长是5或故选：D． 4．下列各数：﹣加1），A．3
，
，0.16，，0.23，
B．4 ，
＝5；
，﹣π，2.010010001（相邻两个1之间0的个数逐次，是无理数的有（ ）个．
C．5
D．6
【分析】无理数包括三方面的数：①含π的，②一些开方开不尽的根式，③一些有规律
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的数，根据以上内容判断即可． 【解答】解：∴有理数有：0.16，
＝
， ，
，0.23，无理数有：﹣，
共5个．
，﹣π，2.010010001（相邻
两个1之间0的个数逐次加1），故选：C．
5．现在人们锻炼身体的意识日渐増强，但是一些人保护环境的意识却很淡薄，如图是兴庆公园的一角，有人为了抄近道而避开横平竖直的路的拐角∠ABC，而走“捷径AC’于是在草坪内走出了一条不该有的“路AC”，已知AB＝40米，BC＝30米，他们踩坏了___米的草坪，只为少走___米路（ ）
A．20、50
B．50、20
C．20、30
D．30、20
【分析】根据勾股定理求出AC即可解决问题． 【解答】解：在Rt△ABC中，∵AB＝40米，BC＝30米， ∴AC＝
30+40﹣50＝20，
∴他们踩坏了50米的草坪，只为少走20米的路． 故选：B．
6．下列说法错误的是（ ）
A．在△ABC中，若∠B＝∠C﹣∠A，则△ABC是直角三角形 B．在△ABC中，若a＝（b+c）（b﹣c），则△ABC是直角三角形 C．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则△ABC是直角三角形 D．在△ABC中，若a：b：c＝5：4：3，则△ABC是直角三角形
【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
【解答】解：A、在△ABC中，若∠B＝∠C﹣∠A，则△ABC是直角三角形，是真命题；
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2
＝50，
B、在△ABC中，若a＝（b+c）（b﹣c），则△ABC是直角三角形，是真命题； C、在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则△ABC是直角三角形，是假命题； D、在△ABC中，若a：b：c＝5：4：3，则△ABC是直角三角形，是真命题；
故选：C． 7．下列说法中
①无限小数是无理数； ②无理数是无限小数；
③无理数的平方一定是无理数； ④实数与数轴上的点是一一对应的． 正确的个数是（ ） A．1
B．2
C．3
D．4
2
【分析】据无理数的定义和运算即可得到正确选项． 【解答】解：①无限不循环小数是无理数；错误； ②无理数是无限小数，正确；
③无理数的平方不一定是无理数；错误； ④实数与数轴上的点是一一对应的，正确； 故选：B． 8．已知A．
＝a，
＝b，则
B．
＝（ ）
C．
D．
【分析】把0.063写成分数的形式，化简后再利用积的算术平方根的性质，写成含ab的形式． 【解答】解：＝∵
＝a，
＝b， ．
＝
＝
∴原式＝故选：D．
9．甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是40m/min，甲客轮15min到达点A，乙客轮用20min到达B点，若A、B两点的直线距离为1000m．甲客轮沿北偏东30°的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是（ ） A．南偏东60°
B．南偏西30°
C．北偏西30°
D．南偏西60°
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【分析】首先根据速度和时间计算出行驶路程，再根据勾股定理逆定理结合路程可判断出甲和乙两艘轮船的行驶路线呈垂直关系，进而可得答案． 【解答】解：如图：
∵甲乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是每分钟40m，甲客轮用15分钟到达点A，乙客轮用20分钟到达点B，
∴甲客轮走了40×15＝600（m），乙客轮走了40×20＝800（m）， ∵A、B两点的直线距离为1000m， ∴600+800＝1000， ∴∠AOB＝90°，
∵甲客轮沿着北偏东30°的方向航行， ∴乙客轮的航行方向可能是南偏东60°， 故选：A．
10．如图所示，在矩形纸片ABCD中，AB＝3，BC＝5．折叠纸片使点A落在边BC上的A′处，折痕为PQ．当点A′在边BC上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．若限定点P、Q分别在边AB、AD上移动，则点A′在边BC上可移动的最大距离为（ ）
2
2
2
A．1
B．2
C．3
D．4
【分析】找到两个极端，即BA′取最大或最小值时，点P或Q的位置．分别求出点P与
B重合时，BA′取最大值3和当点Q与D重合时，BA′的最小值为1，即可得出答案．
【解答】解：当点P与B重合时，BA′取最大值是3，
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当点Q与D重合时，如图所示： 由折叠的性质得：A'D＝AD， ∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝5，CD＝AB＝3，∠C＝90°， ∴A'D＝AD＝5， 由勾股定理得：A′C＝此时BA′取最小值为1．
则点A′在BC边上移动的最大距离为3﹣1＝2． 故选：B．
＝
＝4，
二．填空题（共6小题）
11．已知一个正数的两个平方根分别是2m﹣6和3+m，则m的值为 1 ． 【分析】根据平方根的定义即可求出答案． 【解答】解：由题意可知：（2m﹣6）+（3+m）＝0， ∴m＝1， 故答案为：1．
12．如图，所有阴影部分的四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形A、
B、C的面积依次为2、4、3，则正方形D的面积为 9 ．
【分析】根据勾股定理的几何意答． 【解答】解：∵正方形A、B的面积依次为2、4， ∴正方形E的面积为2+4＝6， 又∵正方形C的面积为3， ∴正方形D的面积3+6＝9， 故答案为9．
第 10 页 共 20 页
13．设A＝
+
，B＝
+
，则A、B中数值较小的是 B ．
【分析】利用求差法，计算A﹣B，根据与0的大小关系，可得答案． 【解答】解：∵A＝∴A﹣B＝（＝＝＞0 ∴A＞B 故答案为：B．
14．a是不为1的有理数，我们把差倒数是
称为的差倒数．如：2的差倒数是
2
+，B＝+
+）
+﹣
）﹣（
+﹣
﹣
＝﹣1，﹣1的
．已知a1＝﹣，a是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，是a4是a3
的差倒数，…，依此类推，则a2019＝ 4 ．
【分析】根据差倒数定义，经过计算，寻找差倒数出现的规律，依据规律答题即可． 【解答】解：根据差倒数定义，
a1＝﹣，a2＝，a3＝，a4＝，
可知3个数为一循环， ∴2019÷3余数为0， ∴则a2019＝a3＝4， 故答案为4． 15．已知|2019﹣a|+
＝a，求a﹣2019的值是 2020 ．
2
【分析】根据二次根式有意义的条件以及绝对值的性质即可求出答案． 【解答】解：由题意可知：a≥2020， ∴2019﹣a＜0， ∴a﹣2019+∴
＝a，
＝2019，
第 11 页 共 20 页
∴a﹣2020＝2019， ∴a﹣2019＝2020， 故答案为：2020
16．如图，等腰直角三角形ABC的直角边的长是a，AD⊥BD，且AD＝3BD，则△BCD的面积是
2
2
a ．
2
【分析】作CE⊥AD于E点，根据等腰直角三角形的性质得到∠BAC＝90°，AB＝AC，利用等角的余角相等得∠BAD＝∠ACE，又AB＝CA，∠ADB＝∠AEC＝90°，根据全等三角形的判定得△ABD≌△CAE，利用全等三角形的性质有BD＝AE，AD＝CE，又AD＝3BD，BD＝x，则AD＝CE＝3x，根据勾股定理可计算出AB＝
△ADCx，得到x＝a，根据S△CBD＝S△ABD+S﹣S△ABC计算即可．
【解答】解：作CE⊥AD于E点， ∴∠AEC＝90°，
∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴∠BAD＝∠ACE， 在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（AAS）， ∴BD＝AE，AD＝CE， 设BD＝x，则AD＝CE＝3x， 由勾股定理得，AB＝解得，x＝
＝
x，即x＝a，
a，
第 12 页 共 20 页
则S△CBD＝S△ABD+S△ADC﹣S△ABC ＝×＝
a×
2
a+×a×a﹣a
2
a，
a．
2
故答案为：
三．解答题（共8小题） 17．计算 （1）（2）（（3）（2
﹣1+3）
﹣2
﹣4； ）×
2018
﹣6﹣3）
；
2019
（2；
﹣3）
0
（4）（﹣3）+﹣|1﹣2|﹣（
【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并后进行二次根式的除法运算； （2）先进行二次根式的乘法运算，然后化简后合并即可； （3）先利用积的乘方得到原式＝[（2差公式计算；
（4）利用零指数幂的意义、负整数指数幂和绝对值的意义计算． 【解答】解：（1）原式＝＝﹣4 ＝； （2）原式＝＝3＝﹣3
﹣3；
+3）（2
﹣3）]
2018
+3）（2﹣3）]
2018
（•2﹣3），然后利用平方
﹣4
﹣﹣3
﹣3
（3）原式＝[（2（2•﹣3）
第 13 页 共 20 页
＝（8﹣9））＝2
2018
（2•﹣3）
﹣3；
﹣1
（4）原式＝+1﹣2＝+2
．
18．在数轴上作出﹣【分析】因为
＝
的对应点．
，所以在数轴上以原点O向左数出3个单位（为点A）作
为直角三角形的一条直角边，过点作数轴的垂线并截取AB为1个单位长度，连接OB，求得OB，最后以点O为圆心，以OB为半径画弧，交数轴的负半轴于点C即为所求．
【解答】解：如图，
19．如图是美国总统Garfield于16年给出的一种验证勾股定理的办法，你能利用它证明勾股定理吗？请写出你的证明过程．（提示：如图三个三角形均是直角三角形）
【分析】此直角梯形的面积由三部分组成，利用直角梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和列出方程并整理． 【解答】证明：∵
∴（a+b）（a+b）＝2ab+c， ∴a+2ab+b＝2ab+c， ∴a+b＝c．
20．已知a，b，c满足（a﹣（1）求a，b，c的值；
（2）试问以a，b，c为边长能否构成直角三角形？若能构成，求出三角形的面积，若不能，请说明理由．
【分析】（1）根据非负数的性质可求出a、b、c的值；
（2）首先利用勾股定理的逆定理证明三角形是直角三角形，利用面积公式求解．
第 14 页 共 20 页
2
2
2
2
2
2
2
，
）+
2
+|c﹣2|＝0．
【解答】解：（1）根据题意得：a﹣解得：a＝2（2）∵（2∴a+b＝c，
2
2
2
＝0，b﹣4＝0，c﹣2＝0，
，b＝4，c＝2）+4＝（2
2
2
． ），
2
∴以a、b、c为边长的三角形是直角三角形． 三角形的面积是：ab＝×2
×4＝4
．
21．如图，一个放置在地面上的长方体，长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B与点C的距离为5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是多少？
【分析】画出长方体的侧面展开图，根据勾股定理求出AB的长即可． 【解答】解：如图所示， 根据勾股定理得，AB＝
答：需要爬行的最短距离是25cm．
＝25cm．
22．在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如还可以将其进一步化简
＝
＝
，，
，＝
一样的式子，其实我们
＝
；
＝
＝＝﹣1，
以上这种化简的方法叫做分母有理化．
第 15 页 共 20 页
（1）请化简（2）矩形的面积为3（3）化简
＝
；
+1，一边长为
+
﹣2，则它的周长是多少？ +…+﹣
＝
﹣ ．
【分析】（1）把分子分母都乘以（（2）先利用分母有理化计算计算矩形的周长；
），分母有理化即可；
得到矩形的另一边长，然后利用二次根式的加减法
（3）先分母有理化，然后合并即可． 【解答】解：（1）原式＝（2）矩形的另一边＝所以它的周长＝2（17+7（3）原式＝（＝（＝故答案为
+＝
﹣2）＝30+16﹣
＝
﹣＝17+7；
﹣
）
； ，
﹣1）+（）+…+（
﹣1） ﹣．
﹣．
23．如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE与CD相交于点O，且OE＝OD，BE与CD交于点G． （1）求证：AP＝DG； （2）求线段AP的长．
【分析】（1）由折叠的性质得出EP＝AP，∠E＝∠A＝90°，BE＝AB＝8，由ASA证明△ODP≌△OEG，得出OP＝OG，PD＝GE，即可得出结论；
（2）由折叠的性质得出EP＝AP，∠E＝∠A＝90°，BE＝AB＝8，由ASA证明△ODP≌△OEG，得出OP＝OG，PD＝GE，设AP＝EP＝x，则PD＝GE＝6﹣x，DG＝x，求出CG、BG，根据勾股定理得出方程，解方程即可．
第 16 页 共 20 页
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D＝∠A＝∠C＝90°，AD＝BC＝6，CD＝AB＝8， 根据题意得：△ABP≌△EBP，
∴EP＝AP，∠E＝∠A＝90°，BE＝AB＝8， 在△ODP和△OEG中，∴△ODP≌△OEG（ASA）， ∴OP＝OG，PD＝GE， ∴DG＝EP， ∴AP＝DG；
（2）如图所示，∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠A＝∠C＝90°，AD＝BC＝6，CD＝AB＝8， 根据题意得：△ABP≌△EBP，
∴EP＝AP，∠E＝∠A＝90°，BE＝AB＝8， 在△ODP和△OEG中，
，
∴△ODP≌△OEG（ASA）， ∴OP＝OG，PD＝GE， ∴DG＝EP，
设AP＝EP＝x，则PD＝GE＝6﹣x，DG＝x， ∴CG＝8﹣x，BG＝8﹣（6﹣x）＝2+x， 根据勾股定理得：BC+CG＝BG， 即6+（8﹣x）＝（x+2）， 解得：x＝4.8， ∴AP＝4.8，
2
2
2
2
2
2
，
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24．联想我们曾经学习过的三角形外心的概念，我们可引入准外心的定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．请回答下面的三个问题：
（1）如图1，若PB＝PC，则点P为△ABC的准外心，而且我们知道满足此条件的准外心有无数多个，你能否用尺规作出另外一个准外心Q呢？请尝试完成；
（2）如图2，已知△ABC为直角三角形，斜边BC＝5，AB＝3，准外心P在AC边上，试探究PA的长；
（3）如图3，点B既是△EDC又是△ADC的准外心，BD＝BA＝BC＝2AD，BD∥AC，CD＝求AD的值．
，
【分析】（1）作AB的垂直平分线MN，在MN上取点Q即可；
（2）连接BP，由勾股定理得出AC＝4，分情况讨论，由直角三角形的性质即可得出答案； （3）由BD＝BA＝BC，得出∠BAC＝∠BCA，点D、A、C在以B为圆心，AB长为半径的圆上，由圆周角定理得出∠ABD＝2∠ACD，作BE⊥CD于E，BF⊥AD于F，由垂径定理得出
DE＝CE＝CD＝，DF＝AF＝AD，∠ABD＝2∠DBF，∠BEC＝∠DFB＝90°，证明△BDF≌△CBE（ASA），得出DF＝BE，设DF＝BE＝x，则AD＝2x，BD＝2AD＝4x，在Rt△BDE中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】解：（1）能用尺规作出另外一个准外心Q， 作AB的垂直平分线MN，在MN上取点Q，如图1所示： 则QA＝QB，点Q为△ABC的准外心； （2）连接BP，如图2所示：
第 18 页 共 20 页
∵△ABC为直角三角形，斜边BC＝5，AB＝3， ∴AC＝
＝
＝4，
∵准外心P在AC边上， ①当PB＝PC时，
设PB＝PC＝x，则PA＝4﹣x，
在Rt△ABP中，由勾股定理得：3+（4﹣x）＝x， 解得：x＝∴PA＝4﹣
， ＝；
2
2
2
②当PA＝PC时，PA＝AC＝2； ③当PA＝PB时，
∵△ABC是直角三角形，此情况不存在；
综上所述，准外心P在AC边上，PA的长为或2； （3）∵BD＝BA＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA，点D、A、C在以B为圆心，AB长为半径的圆上，如图3所示： 则∠ABD＝2∠ACD，
作BE⊥CD于E，BF⊥AD于F， 则DE＝CE＝CD＝∵BD∥AC，
∴∠ABD＝∠BAC＝∠BCA＝2∠ACD＝2∠DBF＝2∠BCE， ∴∠DBF＝∠BCE， 在△BDF和△CBE中，∴△BDF≌△CBE（ASA）， ∴DF＝BE，
设DF＝BE＝x，则AD＝2x，BD＝2AD＝4x， 在Rt△BDE中，由勾股定理得：x+（解得：x＝
，
2
，DF＝AF＝AD，∠ABD＝2∠DBF，∠BEC＝∠DFB＝90°，
，
）＝（4x），
22
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∴AD＝2x＝．
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