1.(2018年新课标Ⅲ理)已知集合A＝{x|x－1≥0},B＝{0,1,2},则A∩B＝( ) A.{0} B.{1} C.{1,2}
D.{0,1,2}
C 【解析】A＝{x|x－1≥0}＝{x|x≥1},则A∩B＝{x|x≥1}∩{0,1,2}＝{1,2}.
2.(2018年新课标Ⅲ理)(1＋i)(2－i)＝( ) A.－3－i
B.－3＋i C.3－i
2
D.3＋i
D 【解析】(1＋i)(2－i)＝2－i＋2i－i＝3＋i.
3.(2018年新课标Ⅲ理)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( )
A B
C D
A 【解析】由题意可知木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,小的长方体是榫头,从图形看出轮廓是长方形,内含一个长方形,且一条边重合,另外3边是虚线.故选A.
1
4.(2018年新课标Ⅲ理)若sin α＝,则cos 2α＝( )
3877A. B. C.－ 999172
B 【解析】cos 2α＝1－2sinα＝1－2×＝. 99
2524
x＋5.(2018年新课标Ⅲ理)的展开式中x的系数为( ) xA.10
B.20
C.40 D.80
8
D.－
9
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2225r25－rrrr10－3rC 【解析】x＋的展开式的通项为Tr+1＝C5(x)＝2C5x.由10－3r＝4,解得rxx
252422
x＋＝2.∴的展开式中x的系数为2C5＝40. x
6.(2018年新课标Ⅲ理)直线x＋y＋2＝0分别与x轴,y轴交于A,B两点,点P在圆(x－2)＋y＝2上,则△ABP面积的取值范围是( ) A.[2,6] B.[4,8] D.[22,32]
A 【解析】易得A(－2,0),B(0,－2),|AB|＝22.圆的圆心为(2,0),半径r＝2.圆心(2,0)|2＋0＋2|
到直线x＋y＋2＝0的距离d＝22＝22,∴点P到直线x＋y＋2＝0的距离h的取值
1＋11
范围为[22－r,22＋r],即[2,32].又△ABP的面积S＝|AB|·h＝2h,∴S的取值范围
2是[2,6].
7.(2018年新课标Ⅲ理)函数y＝－x＋x＋2的图象大致为( )
4
2
2
2
C.[2,32]
A B
C D
D 【解析】函数过定点(0,2),排除A,B；函数的导数y′＝－4x＋2x＝－2x(2x－1),由y′＞0解得x＜－
8.(2018年新课标Ⅲ理)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互.设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,DX＝2.4,P(X＝4)＜P(X＝6),
22
或0＜x＜,此时函数单调递增,排除C.故选D. 22
32
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则p＝( )
A.0.7 B.0.6 C.0.4 D.0.3
B 【解析】某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,为重复事件,满足X～
466
B(10,p).由P(X＝4)＜P(X＝6),可得C410p(1－p)＜C10p(1－p),解得p＞.因为DX＝2.4,所
1
2
以10p(1－p)＝2.4,解得p＝0.6或p＝0.4(舍去).
9.(2018年新课标Ⅲ理)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC的面积为则C＝( ) πA. 2
πππ
B. C. D.
346
2
2
2
2
2
2
a2＋b2－c2
4
,
1a＋b－ca＋b－cC 【解析】S△ABC＝absin C＝,则sin C＝＝cos C.因为0＜C＜π,所以
242bcC＝.
10.(2018年新课标Ⅲ理)设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,△ABC为等边三角形且面积为93,则三棱锥DABC体积的最大值为( ) A.123 B.183 C.243 B 【解析】由△ABC为等边三角形且面积为93,得S△ABC＝
D.543 32
·|AB|＝93,解得AB＝6.设4
π4
半径为4的球的球心为O,△ABC 的外心为O′,显然D在O′O的延长线与球的交点处(如2322
图).O′C＝××6＝23,OO′＝4－(23)＝2,则三棱锥DABC高的最大值为6,则三棱
32133
锥DABC体积的最大值为××6＝183.
34
x2y2
11.(2018年新课标Ⅲ理)设F1,F2是双曲线C:2－2＝1(a>0,b>0)的左,右焦点,O是坐标原点.
ab过F2作C的一条渐近线的垂线,垂足为P,若|PF1|＝6|OP|,则C的离心率为( )
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A.5 B.2 C.3 D.2
C 【解析】双曲线C的一条渐近线方程为y＝x,∴点F2到渐近线的距离d＝即|PF2|＝b,∴|OP|＝|OP|,∴|PF1|＝
|OF2|－|PF2|＝
22babc＝b,a2＋b26
c2－b2＝a,cos∠PF2O＝
2
b.∵|PF1|＝c2
2
6a.△F1PF2中,由余弦定理得|PF1|＝|PF2|＋|F1F2|－
2
2
2
2|PF2|·|F1F2|cos∠PF2O,即6a＝b＋4c－2×b×2c×＝4c－3b＝4c－3(c－a),化简得3abc222222
c＝c,∴e＝＝
a2
c2
＝3. a2
12.(2018年新课标Ⅲ理)设a＝log0.20.3,b＝log20.3,则( )
A.a＋b＜ab＜0 B.ab＜a＋b＜0 C.a＋b＜0＜ab D.ab＜0＜a＋b B 【解析】∵a＝log0.20.3＝
lg 0.3lg 0.3lg 0.3lg 0.3
,b＝log20.3＝,∴a＋b＝－＝
－lg 5lg 2lg 2lg 5
510
lg 0.3·lg lg 0.3·lg
23lg 0.3(lg 5－lg 2)lg 0.3lg 0.310
＝,ab＝－·＝.∵lg ＞lg
lg 2·lg 5lg 2·lg 5lg 2lg 5lg 2·lg 535lg 0.3 ,＜0,∴ab＜a＋b＜0.故选B. 2lg 2·lg 5
13.(2018年新课标Ⅲ理)已知向量a＝(1,2),b＝(2,－2),c＝(1,λ).若c∥(2a＋b),则λ＝________.
11λ1 【解析】(2a＋b)＝2(1,2)＋(2,－2)＝(4,2),由c∥(2a＋b),得＝,解得λ＝. 2422
14.(2018年新课标Ⅲ理)曲线y＝(ax＋1)e在点(0,1)处的切线的斜率为－2,则a＝________.
－3 【解析】由y＝(ax＋1)e,可得y′＝ae＋(ax＋1)e.∵y′|x＝0＝a＋1,∴a＋1＝－2,解得a＝－3.
π15.(2018年新课标Ⅲ理)函数f(x)＝cos3x＋在[0,π]的零点个数为________.
6ππππkπ3 【解析】令f(x)＝cos3x＋＝0,得3x＋＝＋kπ(k∈Z),解得x＝＋(k∈Z).
66293当k＝0时,x＝
π4π7π
；当k＝1时,x＝；当k＝2时,x＝；当k＝3时,x＝999
xxxx 学习好帮手
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10ππ4π7π
.∵x∈[0,π],∴x＝,或x＝,或x＝.∴f(x)的零点的个数为3. 9999
16.(2018年新课标Ⅲ理)已知点M(－1,1)和抛物线C:y＝4x,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点.若∠AMB＝90°,则k＝________.
2 【解析】∵抛物线的焦点为F(1,0),∴过A,B两点的直线方程为y＝k(x－1).联立
y＝4x，化简得y＝k(x－1)，
2
2
4＋2kkx－2(2＋k)x＋k＝0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1＋x2＝2,x1x2
22
2
2
2
k422
＝1.∴y1＋y2＝k(x1＋x2－2)＝,y1y2＝k(x1－1)(x2－1)＝k[x1x2－(x1＋x2)＋1]＝－
k→→→→
4.∵M(－1,1),∴MA＝(x1＋1,y1－1),MB＝(x2＋1,y2－1).∵∠AMB＝90°＝0,∴MA·MB＝0,即(x1＋1)(x2＋1)＋(y1－1)(y2－1)＝0,整理得x1x2＋(x1＋x2)＋y1y2－(y1＋y2)＋2＝0,∴1＋2442
＋2－4－＋2＝0,即k－4k＋4＝0,解得k＝2.
kk
17.(2018年新课标Ⅲ理)等比数列{an}中,a1＝1,a5＝4a3. （1）求{an}的通项公式；
（2）记Sn为{an}的前n项和.若Sm＝63,求m. 【解析】（1）设等比数列{an}的公比为q. 由a1＝1,a5＝4a3,得1×q＝4×(1×q),解得q＝±2. 当q＝2时,an＝2
n－1
4
2
；
n－1
当q＝－2时,an＝(－2).
nnm1×[1－(－2)]1－(－2)1－(－2)
（2）当q＝－2时,Sn＝＝.由Sm＝63,得＝63,m∈N,无解；
1－(－2)331×(1－2)nm当q＝2时,Sn＝＝2－1.由Sm＝63,得2－1＝63,解得m＝6.
1－2
18.(2018年新课标Ⅲ理)某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率,选取40名工人,将他们随机分成两组,每组20人.第一组工人用第一种生产方式,第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间(单位:min)绘制了如下茎叶图:
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（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高?并说明理由；
（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m,并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表:
第一种生产方式 第二种生产方式 超过m 不超过m （3）根据（2）中的列联表,能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异?
n(ad－bc)2
附:K＝
(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)
2
P(K2≥k) 0.050 k 3.841 0.010 0.001 6.635 10.828 【解析】（1）根据茎叶图中的数据知第一种生产方式的工作时间主要集中在72～92之间,第二种生产方式的工作时间主要集中在65～85之间, ∴第二种生产方式的工作时间较少,效率更高.
（2）这40名工人完成生产任务所需时间按从小到大的顺序排列后,排在中间的两个数据是79＋81
79和81,m＝＝80.
2由此填写列联表如下:
第一种生产方式 第二种生产方式 总计 40(15×15－5×5)
（3）K＝＝10＞6.635,
20×20×20×20
2
2超过m 15 5 20 不超过m 5 15 20 总计 20 20 40 ∴有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异.
⌒
19.(2018年新课标Ⅲ文)如图,边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD所在平面垂
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⌒
直,M是CD上异于C,D的点. （1）求证:平面AMD⊥平面BMC；
（2）当三棱锥M﹣ABC体积最大时,求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值.
【解析】（1）证明:在半圆中,DM⊥MC.
⌒
∵正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD所在平面垂直,∴AD⊥平面DCM. 又MC⊂平面DCM,∴AD⊥MC. 又AD∩DM＝D,∴MC⊥平面ADM. ∵MC⊂平面MBC,∴平面AMD⊥平面BMC.
（2）∵△ABC的面积为定值,∴要使三棱锥M﹣ABC体积最大,则三棱锥的高最大,此时M为圆弧的中点.
以O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系.
∵正方形ABCD的边长为2,∴A(2,－1,0),B(2,1,0),M(0,0,1),则平面MCD的一个法向量为m＝(1,0,0).
→→
设平面MAB的一个法向量为n＝(x,y,z),则AB＝(0,2,0),AM＝(－2,1,1). →n·AB＝2y＝0，∴
→n·AM＝－2x＋y＋z＝0.
令x＝1,则y＝0,z＝2,∴n＝(1,0,2).
m·n15∴cos〈m,n〉＝＝＝. |m|·|n|1×55
设面MAB与面MCD所成的二面角为α,则sin α＝
1－
5225
＝5. 5
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20.(2018年新课标Ⅲ文)已知斜率为k的直线l与椭圆C:＋＝1交于A,B两点,线段AB43的中点为M(1,m)(m＞0). 1
（1）求证:k＜－；
2
→→→→→→
（2）设F为C的右焦点,P为C上一点,且FP＋FA＋FB＝0,求证:|FA|,|FP|,|FB|成等差数列,并求该数列的公差.
【解析】（1）设A(x1,y1),B(x2,y2).
∵线段AB的中点为M(1,m),∴x1＋x2＝2,y1＋y2＝2m. 将A(x1,y1),B(x2,y2)代入＋＝1中,
43
化简得3(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0,即6(x1－x2)＋8m(y1－y2)＝0, ∴k＝
x2y2
x2y2
y1－y263
＝－＝－. x1－x28m4m2
1m3点M(1,m)在椭圆内,即＋＜1(m＞0),解得0＜m＜. 43231
∴k＝－＜－.
4m2
（2）证明:设(x3,y3),可得x1＋x2＝2.
→→→
∵FP＋FA＋FB＝0,F(1,0),∴x1－1＋x2－1＋x3－1＝0,y1＋y2＋y3＝0. ∴x3＝1,y3＝－(y1＋y2)＝－2m. ∵m＞0,∴P在第四象限.
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33
∴y3＝－,m＝,k＝－1.
24
1113
∵|FA|＝2－x1,|FB|＝2－x2,|FP|＝2－x3＝,
22221
则|FA|＋|FB|＝4－(x1＋x2)＝3. 2→→→∴2|FP|＝|FA|＋|FB|.
联立化简得28x－56x＋1＝0.
xy4＋3＝1，
y＝－x＋，2
2
2
7
4
1
∴x1＋x2＝2,x1x2＝.
28
∴|x1－x2|＝(x1＋x2)－4x1x2＝
2321
. 7
1321
∴该数列的公差d满足2d＝±|x1－x2|＝±. 214321
∴该数列的公差为±.
28
21.(2018年新课标Ⅲ理)已知函数f(x)＝(2＋x＋ax)ln(1＋x)－2x. （1）若a＝0,求证:当－1＜x＜0时,f(x)＜0；当x＞0时,f(x)＞0； （2）若x＝0是f(x)的极大值点,求a.
【解析】（1）证明:当a＝0时,f(x)＝(2＋x)ln(1＋x)－2x(x＞－1),则f′(x)＝ln(1＋x)－. 1＋x2
x令g(x)＝f′(x)＝ln(1＋x)－,则g′(x)＝2.
1＋x(1＋x)当x∈(－1,0)时,g′(x)≤0；当x∈(0,＋∞)时,g′(x)≥0. ∴f′(x)在(－1,0)递减,在(0,＋∞)递增. ∴f′(x)≥f′(0)＝0.
∴f(x)＝(2＋x)ln(1＋x)－2x在(－1,＋∞)上单调递增. 又f(0)＝0,∴当－1＜x＜0时,f(x)＜0；当x＞0时,f(x)＞0. （2）由f(x)＝(2＋x＋ax)ln(1＋x)－2x,
2＋x＋axax－x＋(1＋2ax)(1＋x)ln(1＋x)
得f′(x)＝(1＋2ax)ln(1＋x)＋－2＝. 1＋x1＋x令h(x)＝ax－x＋(1＋2ax)(1＋x)ln(1＋x),
2
2
2
2
xx 学习好帮手
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则h′(x)＝4ax＋(4ax＋2a＋1)ln(1＋x). 当a≥0,x＞0时,h′(x)＞0,h(x)单调递增. ∴h(x)＞h(0)＝0,即f′(x)＞0.
∴f(x)在(0,＋∞)上单调递增,∴x＝0不是f(x)的极大值点,不合题意. 当a＜0时,令u(x)＝h′(x)＝4ax＋(4ax＋2a＋1)ln(1＋x), 1－2a则u′(x)＝8a＋4aln(1＋x)＋,显然u′(x)单调递减.
1＋x1
①令u′(x)＝0,解得a＝－.
6
∴当－1＜x＜0时,u′(x)＞0；当x＞0时,u′(x)＜0. ∴h′(x)在(－1,0)上单调递增,在(0,＋∞)上单调递减. ∴h′(x)≤h′(0)＝0,则h(x)在(0,＋∞)上单调递减.
又h(0)＝0,∴当－1＜x＜0时,h(x)＞0,即f′(x)＞0；当x＞0时,h(x)＜0,即f′(x)＜0. ∴f(x)在(－1,0)上单调递增,在(0,＋∞)上单调递减. ∴x＝0是f(x)的极大值点,符合题意. 1－
②若－＜a＜0,则u′(x)＝1＋6a＞0,u′e
6
1＋6a4a－1＝(2a－1)(1－e
1＋6a4a
)＜0,
∴u′(x)＝0在(0,＋∞)上有唯一一个零点,设为x0.
∴当0＜x＜x0时,u′(x)＞0,h′(x)单调递增,h′(x)＞h′(0)＝0,即f′(x)＞0. ∴f(x)在(0,x0)上单调递增,不合题意；
112
③若a＜－,则u′(x)＝1＋6a＜0,u′2－1＝(1－2a)e＞0,
6e∴u′(x)＝0在(－1,0)上有唯一一个零点,设为x1.
∴当x1＜x＜0时,u′(x)＜0,h′(x)单调递减,h′(x)＞h′(0)＝0,h(x)单调递增,h(x)＜
h(0)＝0,即f′(x)＜0.
∴f(x)在(x1,0)上单调递减,不合题意. 1
综上,a＝－. 6
x＝cos θ，
22.(2018年新课标Ⅲ理)在平面直角坐标系xOy中,⊙O的参数方程为(θ为参
y＝sin θ
数),过点(0,－2)且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A,B两点. （1）求α的取值范围；
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（2）求AB中点P的轨迹的参数方程.
【解析】（1）将⊙O的参数方程化为普通方程,得为x＋y＝1,圆心为O(0,0),半径r＝1. π
当α＝时,过点(0,－2)且倾斜角为α的直线l的方程为x＝0,成立；
2π
当α≠时,过点(0,－2)且倾斜角为α的直线l的方程为y＝tan α·x＋2.
2∵直线l与⊙O交于A,B两点,∴圆心O(0,0)到直线l的距离d＝∴tanα＞1,解得tan α＞1或tan α＜－1. πππ3π∴＜α＜或＜α＜. 4224
2
2
2
＜1. 21＋tanα|2|
π3π综上,α的取值范围为，.
44
（2）由（1）知直线l的斜率不为0,设直线l的方程为x＝m(y＋2). 设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x3,y3). 联立
x＝m(y＋2)，2222
化简得(m＋1)y＋22my＋2m－1＝0. 22
x＋y＝1，
2
2
22m2m－1
∴y1＋y2＝－2,y1y2＝2. m＋1m＋1
22m∴x1＋x2＝m(y1＋2)＋m(y2＋2)＝－2＋22m,
m＋1
3
x3＝
x1＋x2
22my1＋y22m＝2,y3＝＝2. m＋12m＋1
22
2mx＝
m＋1，∴AB中点P的轨迹的参数方程为(m为参数),(－1＜m＜1).
2my＝m＋1
22
23.(2018年新课标Ⅲ理)设函数f(x)＝|2x＋1|＋|x－1|. （1）画出y＝f(x)的图象；
（2）当x∈[0,＋∞)时,f(x)≤ax＋b,求a＋b的最小值.
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1
【解析】（1）当x≤－时,f(x)＝－(2x＋1)－(x－1)＝－3x；
21
当－＜x＜1,f(x)＝(2x＋1)－(x－1)＝x＋2；
2当x≥1时,f(x)＝(2x＋1)＋(x－1)＝3x.
∴f(x)＝ x＋2，－1＜x＜1，
2
3x，x≥1.
对应的图象如图所示.
1－3x，x≤－，
2
（2）当x∈[0,＋∞)时,f(x)≤ax＋b. 当x＝0时,f(0)＝2≤0·a＋b,∴b≥2；
当x＞0时,要使f(x)≤ax＋b恒成立,则f(x)的图象恒在直线y＝ax＋b的下方或在直线上. ∵f(x)的图象与y轴的交点的纵坐标为2,且各部分直线的斜率的最大值为3,
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∴当且仅当a≥3且b≥2时,不等式f(x)≤ax＋b在[0,＋∞)上成立, ∴a＋b的最小值为5.
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