一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把答案填在答卷页的表格内．
1.已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{y|y＝3x－2，x∈A}，则A∩B等于( ) A. {1} B. {4} C. {1，3} D. {1，4} 【答案】D 【解析】
因为集合B中，x∈A，所以当x＝1时，y＝3－2＝1；
当x＝2时，y＝3×2－2＝4； 当x＝3时，y＝3×3－2＝7； 当x＝4时，y＝3×4－2＝10. 即B＝{1,4,7,10}．
又因为A＝{1,2,3,4}，所以A∩B＝{1,4}．故选D. 视频
2.设是纯虚数，若A.
是实数，则
（ ）
B. C. D.
【答案】A 【解析】 试题分析：设
，则
，所以
.
考点：复数概念及其运算.
【易错点晴】在复数的四则运算上,经常由于疏忽而导致计算结果出错.除了加减乘除运算外,有时要结合共轭复数的特征性质和复数模的相关知识,综合起来加以分析.在复数的四则运算中,只对加法和乘法法则给出规定,而把减法、除法定义为加法、乘法的逆运算.复数代数形式的运算类似多项式的运算,加法类似合并同类项；复数的加法满足交换律和结合律,复数代数形式的乘法类似多项式乘以多项式,除法类似分母有理化；用类比的思想学习复数中的运算问题.
3.已知命题p：“∀x∈[1，2]，x2－a≥0”，命题q：“∃x0∈R，使
”，若
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专业的教育资料 命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是( )
A. {a|a≤－2或a＝1} B. {a|a≥1} C. {a|a≤－2或1≤a≤2} D. {a|－2≤a≤1} 【答案】A 【解析】 【分析】 先求解命题
为真命题时，实数的范围，再由命题且为真命题，即可求解实数的取值范围
，或或
，所以， ，
，
【详解】由题意，命题为真命题，则命题为真，则
，解得
若命题且为真命题，则的取值范围是即实数的取值范围是
或
，故选A．
为真命题时，实
【点睛】本题主要考查了复合命题的真假判定及应用，其中正确求解命题
数的范围，再由命题且为真命题求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力． 4.已知条件
，条件
，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围为（ ）
A. a＞3 B. a≥3 C. a＜-1 D. a≤-1 【答案】D 【解析】
试题分析：由x2-2x-3＜0可得分不必要条件，所以考点：充分条件与必要条件.
【名师点睛】判断充分条件和必要条件的方法 (1)命题判断法：
设“若p，则q”为原命题，那么：
①原命题为真，逆命题为假时，p是q的充分不必要条件； ②原命题为假，逆命题为真时，p是q的必要不充分条件； ③原命题与逆命题都为真时，p是q的充要条件；
④原命题与逆命题都为假时，p是q的既不充分也不必要条件． (2)集合判断法：
从集合的观点看，建立命题p，q相应的集合：p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}，那么：
①若A⊆B，则p是q的充分条件；若AB时，则p是q的充分不必要条件；
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，设，可得
.
，，因为p是q的充
专业的教育资料 ②若B⊆A，则p是q的必要条件；若BA时，则p是q的必要不充分条件； ③若A⊆B且B⊆A，即A＝B时，则p是q的充要条件． (3)等价转化法：
p是q的什么条件等价于非q是非p的什么条件．
5.函数y＝sin(ωx＋φ)的部分图象如图，则φ、ω可以取的一组值是( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
【答案】C 【解析】 【分析】
根据函数的部分图象，先确定函数的最小正周期，求得的值，再代入点的的值即可． 【详解】由图象得当当
时，时，
，所以，故选C．
，所以
，又由，解得
，
，
，即可求解相应
【点睛】本题主要考查了三角函数点图象与性质，由函数的图象求解三角函数的解析式时，通常根据函数的最值确定（振幅）的值，再由函数的最小正周期，确定的值，最后代入特殊点求解相应的的值，即可得到三角函数的解析式 ，着重考查了识图能力，以及推理与运算能力． 6.由a1＝1，
给出的数列{an}的第34项是( )
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专业的教育资料 A. B. 100 C. D.
【答案】A 【解析】 【分析】
由数列的递推关系式，分别求解出即可求解． 【详解】由
，
，再寻找出计算的规律，利用等差数列的性质，
则，
由此可知各项分子为1，分母构成等差数列所以
，所以
，首项，公差为，
，故选A．
【点睛】本题主要考查了数列的递推关系式的应用，其中明确数列的递推关系式，进行逐项求解，找出数列的构成规律是解答的关键，着重考查了推理与运算能力． 7.给出以下四个命题：
①若ab≤0，则a≤0或b≤0；②若a>b，则am2>bm2；③在△ABC中，若sinA＝sinB，则A＝B；④在一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中，若b2－4ac<0，则方程有实数根.其中原命题、逆命题、否命题、逆否命题全都是真命题的是( ) A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】C 【解析】 【分析】
根据题意，分别写出每个命题的逆命题、否命题和逆否命题，再判断它们的真假，即可得到答案．
【详解】对于①，原命题是：若逆命题是：若
或
，则，则，则
，则
或
，是真命题，则其逆否命题是真命题；
，是假命题，则否命题是假命题；
，是假命题，所以其逆否命题也是假命题； ，是真命题，则其否命题也是真命题；
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对于②，原命题：若逆命题是：若
专业的教育资料 对于③中，原命题：在题； 逆命题：在
中，若
中，若，则，是真命题，则其逆否命题也是真命
，则，是真命题，则其否命题也是真命题；
中，若
，则方程有实数根，是假
对于④中，原命题：在一元二次方程命题，则其逆否命题也是假命题； 逆命题：在一元二次方程否命题也是假命题；
中，若方程有实数根，则，是假命题，则其
所以原命题、逆命题、否命题、逆否命题中都是真命题的，只有③，故选C．
【点睛】本题主要考查了四种命题的书写及真假关系的判定，其中解答中熟记四种命题的书写，以及四种命题的真假关系是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题． 8.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )
A. B. C. 13 D. 【答案】C 【解析】
试题分析：该三视图的几何体是三棱台
，
，
，是正方体中的一部分，如图．
，
所
，以
．故选C．
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专业的教育资料 考点：三视图，表面积．
【名师点睛】几何体的三视图，常常可以看作是由基本几何体（如正方体、长方体）切割出的几何体的三视图，因此由这样的三视图作直观图时，可以画出正方体（或长方体），在此基础上切割并想象三视图得到所需几何体的直观图，这样画图有一个好处就是几何体中的线面关系（平行与垂直）非常清晰．
9.已知三角形的三边分别为a，b，c，内切圆的半径为r，则三角形的面积为
；
四面体的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球的半径为R.类比三角形的面积可得四面体的体积为( ) A. D. 【答案】B 【解析】 【分析】
根据几何体和平面图形的类比关系，三角形的边应与四面体中的各个面、面积与体积进行类比，利用类比推理，即可得到结论．
【详解】根据几何体和平面图形的类比关系，三角形的边应与四面体中的各个面进行类比， 而面积与体积进行类比，则对应于四面体的体积为
的面积为
，
，故选B．
B.
C.
【点睛】本题考查了类比推理的应用，其中合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向．合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定正确．而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下)．
10.甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字记为a，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜的数字记为b，且a，b∈{0，1，2，…，9}.若|a－b|≤1，则称甲乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏，则二人“心有灵犀”的概率为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】
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专业的教育资料 【分析】
由题意得甲乙两人各猜一个数字，共有
种，再由一一列举出满足
的所包含
的基本事件的个数，利用古典概型的概率计算公式，即可求解． 【详解】由题意，可知甲乙两人各猜一个数字，共有其中满足当当当当
时， 时， 时， 时，
的有： ；当；当；当
时， 时， 时，
；当
；当；当
时，
时， 时，
；
； ；
(种)猜字结果，
，共有种，
，故选A.
所以他们“心有灵犀”的概率为
【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，其中解答中根据题意，得出基本事件的总数和找出事件所包含的基本事件的个数（列举法）是解答的关键，同时注意认真审题，合理作答，着重考查了推理与运算能力．
11.函数f(x)＝2x－lnx的单调递减区间是( ) A.
B.
和
C.
D.
和
2
【答案】A 【解析】 【分析】
求出函数的导数，利用函数的导数小于0，即可求解函数的递减区间． 【详解】由题意，得又当所以函数
时，
，
，故选A.
，
的单调递减区间是
【点睛】本题主要考查了利用导数求解函数的单调区间，其中熟记导数的计算公式以及导数在函数中的应用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力． 12.已知双曲线
的左，右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，
则此双曲线的离心率e的最大值为( )
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专业的教育资料 A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】
根据双曲线的定义，求得函数的性质，得到当【详解】由双曲线的定义知又
联立①②解得
， ②
，
，再由余弦定理，得
时，离心率取得最大值，即可求解．
①
，根据三角
在中，由余弦定理，得，
要求的最大值，即求当
时，解得
的最小值，
，即e的最大值为，故选B.
①又
c-,即
， ②联立①②解得c-故
c，即e的最大值为，
解法二：由双曲线的定义知
，因为点P在右支所以
故选B.
【点睛】本题主要考查了双曲线的几何性质的求解，其中根据双曲线的定义求得在
，再
中，利用余弦定理得到关于离心率的关系式是解答的关键，着重考查了分析问题和
解答问题的能力，推理与运算能力，属于中档试题．
二.填空题：（只要求写出最后结果，并把结果写在答卷页的相应位置上，每题5分，共20分） 13.【答案】60 【解析】 【分析】 求出二项式
展开式的通项，再根据
，即可求解的系数．
展开式中x2的系数为________.
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专业的教育资料 【详解】因为所以
故答案为．
展开式的通项为展开式中的系数为
，
．
【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，其中熟记二项展开式的通项是解答此类问题的关键，着重考查了推理与运算能力．
14.曲线y＝x3－2x在(1，－1)处的切线方程为__________________. 【答案】x－y－2＝0 【解析】
试题分析：根据导数的几何意义求出函数在x=1处的导数，从而得到切线的斜率，再利用点斜式方程写出切线方程即可． 解：y'=﹣2+3x2 y'|x=﹣1=1
而切点的坐标为（1，﹣1）
∴曲线y=x﹣2x在x=1的处的切线方程为x﹣y﹣2=0 故答案为：x﹣y﹣2=0
15.程序框图如图所示，该程序运行后输出的S的值是__________________.
3
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专业的教育资料 【答案】 【解析】 【分析】
根据给定的程序框图，逐次循环计算，得到计算的周期性，即可求解． 【详解】由程序框图知：第一次循环
；第二次循环
；
第三次循环；第四次循环；
第五次循环
∵跳出循环体的值为故答案为．
；，则S值的周期为， ，∴共循环了
次，∴输出的
.
【点睛】识别算法框图和完善算法框图是近年高考的重点和热点．解决这类问题：首先，要明确算法框图中的顺序结构、条件结构和循环结构；第二，要识别运行算法框图，理解框图解决的问题；第三，按照框图的要求一步一步进行循环，直到跳出循环体输出结果，完成解答．近年框图问题考查很活，常把框图的考查与函数和数列等知识考查相结合． 16.已知向量么
，
，
，设X是直线OP上的一点(O为坐标原点)，那
的最小值是________.
【答案】－8 【解析】 【分析】 设直线
方程为
，设出点坐标为
，利用向量的坐标运算，得到关于的关系式，
即可求解最小值． 【详解】直线设点坐标为所以当
时，
的最小值为
．
方程为，则
，
，
，
故答案为.
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专业的教育资料 【点睛】本题主要考查了向量的坐标表示及向量的运算，其中根据直线方程，设出点的坐
标，利用向量数量积的坐标运算得出关于的关系式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．
三、解答题：（本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17.（1）求
中的内角，，的对边分别是；（2）若
，点为边
，若
，，求
. 的面积.
上一点，且
【答案】（1）【解析】 【分析】 （1）因为
；（2）.
，所以有，求得，解得
，再利用余弦的倍角公式，即可求解； ，又
，则
，再三角形的
（2）由余弦定理，化简得面积公式，即可求解． 【详解】（1）因为故
（2）由题意得，得
，解得
，所以有
.
.从而.
，由余弦定理得，
或
（舍去）.从而
.
.即，又
，则
，化简.所以
【点睛】本题主要考查了三角恒等变换和正弦、余弦定理解三角形的应用，在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．
18.某大学城校区与本部校区之间的驾车单程所需时间为，只与道路畅通状况有关，对其容量为500的样本进行统计，结果如下： （分钟） 频数（次）
25 100 30 150 35 200 40 50 - 11 -
专业的教育资料 以这500次驾车单程所需时间的频率代替某人1次驾车单程所需时间的概率． （1）求的分布列与
；
（2）某天有3位教师独自驾车从大学城校区返回本部校区，记表示这3位教师中驾车所用时间少于
的人数，求的分布列与
；
（3）下周某天张老师将驾车从大学城校区出发，前往本部校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回大学城校区，求张老师从离开大学城校区到返回大学城校区共用时间不超过120分钟的概率．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【解析】 【分析】
（1）以频率估计频率，即可取得的分布列，求出期望，得到概率即可； （2）判断分布列是二项分布，然后列出分布列，利用公式求解期望； （3）设
分别表示往返所需时间，设事件表示“从离开大学城校区到返回大学城校区共
，求解概率即可．
【详解】（1）以频率估计频率得的分布列为： ∴
．
（2）
，
0 1 （
）．
2 3 （分钟），
25 0.2 30 0.3 35 0.4 40 0.1 .
用事件不超过120分钟”，则
- 12 -
专业的教育资料 ．
（3）设，分别表示往返所需时间，设事件表示“从离开大学城校区到返回大学城校区共用时间不超过120分钟”，则
．
【点睛】本题主要考查、随机变量的分布列和数学期望，其中认真审题，准确判断，得到得出离散型随机变量的分布列，求得概率和数学期望是解答关键，能很好的考查考生数学应用意识、基本运算求解能力等. 19.如图，在四棱锥的中点．
（1）过点作一条射线（2）求二面角
，使得
，求证：平面
平面
；
中，
底面
，底面
为矩形，且
，为
的余弦值的绝对值．
【答案】（1）见解析；（2）【解析】
试题分析：（1）连线
和
.
交于点，连接平面，
，则是
平面
的中点，由中位线定理得，
由线面平行的判定定理得以可得结论；（2）分别以标系，分别求出平面式求解.
试题解析：（1）证明：在矩形由于是又所以又
；同理得，进而由面面平行得判定定理
，所在的直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐
的一个法向量，进而用空间向量夹角余弦公
的一个法向量和平面
中，连线和交于点，连接
，
，则是的中点，
的中点，所以
，，
是△
，
的中位线，则
平面平面
平面
，同理得平面，
- 13 -
专业的教育资料 因为，所以平面，，，
，
平面．
（2）解：分别以设所以
，则
所在的直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系． ，故，
，，
，
，
，
，
设平面的一个法向量为，则有即令，则，
，故同理，可得平面
．
的一个法向量
，
所以，即二面角的余弦值的绝对值为．
考点：1、线面、面面平行得判定定理；2、空间向量夹角余弦公式. 20.已知椭圆：的距离之和为
．
（
）的右焦点为
，且椭圆上一点到其两焦点，
（1）求椭圆的标准方程； （2）设直线：
（
）与椭圆交于不同两点，，且
，若点
满足
，求的值．
【答案】（1）【解析】 【分析】 （1）由已知求得（2）由
，又由，得
，由此能求出椭圆的方程；
，由此利用根的判别式、韦达定理、中垂线的
；（2）
或．
性质，结合已知，即可求出的值． 【详解】（1）由已知
，得
，又
，∴
，∴椭圆的方程为
．
（2）由得 ①
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专业的教育资料 ∵直线与椭圆交于不同两点、，∴设
，．又由
的中垂线与直线当
时，．当，得
的交点，设，此时，线段时，
，∴，得的中点为
，解得，则
，得，
．据题意知，点为线段
，
，即
，即
．令
，，得．令
的中垂线方程为
中垂线方程为．
，∴此时，线段
或
．综上所述，的值为
【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常利用
的关系，确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方
程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，确定函数的性质进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等． 21.已知函数（Ⅰ）当（Ⅱ）当
时，求曲线时，若不等式
在
.
处的切线方程； 恒成立，求实数的取值范围.
.
【答案】（I）【解析】
；（II）
分析：(1)先求切线的斜率和切点的坐标，再求切线的方程.(2)分类讨论求
≥0，求出实数a的取值范围.
详解：（Ⅰ）当
即曲线
时，在
，
处的切线的斜率为
. 恒成立
，
，，又
， ，
，再解
所以所求切线方程为（Ⅱ）当易知①若又
，则，所以当
时，若不等式，
恒成立，
在上单调递增；
，符合题意.
时，
- 15 -
专业的教育资料 ②若则当当所以则当当则当
，由，解得时，时，
，，
， 单调递减； 单调递增.
时，函数，即，即
取得最小值. 时，则当
时，
，符合题意.
时， 时，
单调递增，
.
，不符合题意.
综上，实数的取值范围是
点睛：（1）本题主要考查导数的几何题意和切线方程的求法，考查利用导数求函数的最小值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理转化能力.(2)解答第2问由两次分类讨论，第一次是分类的起因是解不等式分类讨论，第二次分类的起因是
时，右边要化成
，由于对数函数定义域的所以要
内,大家要理解掌握.
是否在函数的定义域
请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分． 22.已知在直角坐标系直角坐标系程为
中，曲线的参数方程为
（为参数），在极坐标系（与
取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，直线的方
.
（1）求曲线在极坐标系中的方程； （2）求直线被曲线截得的弦长. 【答案】（1）【解析】
试题分析：（I）通过分类参数方程中的参数，利用同角三角函数的平方关系，消去参数，得到曲线的直角坐标方程，在根据利用普通方程求出交点坐标，得到弦长. 试题解析：（I）曲线的普通方程为
，
化简可得曲线在极坐标系中的方程；（II）
；（2）
- 16 -
专业的教育资料 即，将代入方程
. ，
化简得.
所以，曲线的极坐标方程是（II）由所以弦长
直线的直角坐标方程为
得直线与曲线C的交点坐标为
.
，
考点：参数方程与直角坐标方程、极坐标方程的互化与应用. 23.(选修4-5：不等式选讲)已知函数（1）求不等式（2）若实数【答案】（1）【解析】 【分析】
（1）把要解的不等式，分类讨论，转化为与之等价的不等式组，求出每个不等式组的解集，取并集，即可求解．
（2）利用绝对值三角不等式，求得最小值，以及此时
的值．
或
.
，
时等号成立.
，故
或
，解得
或
，综上所
的最小值为
，再利用基本不等式求得
的
的解集； ，且
的最小值为
，求
的最小值，并指出此时.
的值．
．
；（2）最小值为，
【详解】（1）原不等式等价于述，不等式
的解集为
（2）依题意，可知
，当且仅当
【点睛】本题主要考查了绝对值不等式问题，对于含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．
- 17 -
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