数学：《关于三角形的“四心”与平面向量的结合》教案

[关键字]高中|数学|平面向量|内心|外心|重心|垂心

[内容摘要]每年全国各地高考试卷中,都有不少习题与三角形的“四心”有关，学生在解决这些问题时错误率较高，甚至是无从下手.笔者搜集了部分资料，结合本人积累的一些高三知识，就高中新课标向量的相关知识进行阐述，对有关三角形的“四心”的相关知识进行复习.特别体现出它们之间的结合,不当疏漏之处,恳请读者批评指正. 一、 基础知识复习

1.定义：我们把三角形三个内角的角平分线的交点叫做三角形的内心,即三角形内切圆圆心;三角形三条边上的中垂线的交点叫做三角形的外心,即三角形外接圆圆心;三角形三条边上的中线的交点叫做三角形的重心;三角形三条高线的交点叫做三角形的垂心.我们将三角形的“内心”、“外心”、“重心”、“垂心”合称为三角形的“四心”.

2.应用:三角形的内心到三角形三边的距离相等;三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等;三角形的重心到三角形的顶点的距离是相应中线长的三分之二;三角形的垂心与顶点的连线垂直于该顶点的对边. 3.注意点:三角形的“四心”与平面向量知识的结合. 二、 典型例题分析

[例]已知点G是ABC内任意一点,点 M是ABC所在平面内一点.试根据下列条件判断G点可能通过ABC的__________心.(填“内心”或“外心”或“重心”或“垂心”). [提出问题]

ABAC(1)若存在常数,满足MGMA()(0),则点G可能通过ABC的__________.

ABACGBGDGC,则点G可能通过ABC的__________. (2)若点D是ABC的底边BC上的中点,满足GDABAC(3)若存在常数,满足MGMA()(0),则点G可能通过ABC的ABsinBACsinC__________.

ABAC(4)若存在常数,满足MGMA()(0),则点G可能通过ABC的ABcosBACcosC__________.

[思路分析]以上四个问题的解决要求不同,除了熟悉三角形的“四心”的性质,同时更要熟悉平面向量的性质,对于平面向量与三角函数的结合也要相当熟悉.

AB[解答过程](1)记e1,ABACe2,则AG(e1e2).由平面向量的平行四边形或三角形法则知,点ACG是角平分线上的点,故应填内心.

(2)简单的变形后发现点G是BC边中垂线上的点,故应填外心.

ABsinBACsinC,ABsinBACsinCh, (3)记

''则AG(ABAC)().由平面向量的平行四边形或三角形法则知,点G是BC边的中线上的点,故

h应填重心.

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(4)分析后发现,本题学生难以找到解决问题的突破口,主要在于平面向量的数量积的充分利用.由

ABACMGMA()(0), ABcosBACcosCABAC得AG()(0), ABcosBACcosCABAC(关键点) AGBC()BC(0) ABcosBACcosCABBCACBCAGBC()(0)ABcosBACcosC于是.

（BCcos(-B)BCcosB）=(BCBC)0从而AGBC,点G是高线上的点,故应填垂心.

[教师点评]以上四个问题处理的方法各不相同,注意到平面向量及三角形的“四心”的性质在解答问题时的作用.特别注意第四问两边同乘以某个表达式的技巧. 三、 综合运用

[提出问题]若O点是ABC的外心, H点是ABC的垂心,

且OHm(OAOBOC),求实数m的值.

[思路分析]许多学生在解答此类题时，只能用特殊值的方法解决.要求学生能够充分利用本节提到的一些基础知识及相关性质解题.

OHm(OAOBOC)OHOAm(OAOBOC)OA[解答过程]由,得, OAm(OBOC), 于是HA(m1)(关键点) HABC(m1)OABCm(OBOC)BC (OCOB), 即HABC(m1)OABCm(OBOC)(OCOB)0,从而(m1)OABC0, 由题意,知HABC0,及(OBOC)其中OABC0,因此m10,即m1.

[教师点评]请读者特别注意解题中的关键点,解这类问题时的技巧也应熟练掌握.

[举一反三]通过上述例题及解答,我们可以总结出关于三角形“四心”的向量表达式.若P点为ABC内任意一点，若P点满足:

ABAC),0AP(ABACP为ABC的内心; 1．BABCBPt()，t0BABC第2页（共3页）

2.D、E两点分别是ABC的边BC、CA上的中点,且

DPPBDPPCP为ABC的外心; EPPCEPPA1AP(ABAC),33. P为ABC的重心;

1BP(BABC)，3APBC04. P为ABC的垂心. BPAC0

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