【全国市级联考word】辽宁省大连2018届高三上学期期末数学理数试题

数学科（理科）试卷

第Ⅰ卷

一、选择题：（本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

(1i)21.已知i是虚数单位，则复数z的虚部是（ ）

1iA．-1 B．1 C．i D．i

2.设集合M{x|0x1}，N{x|x21}，则M(CRN)（ ） A．[0,1] B．(1,1) C．(1,1] D．(0,1) 3.若cos，且为第二象限角，则tan（ ）

4543 D． 341204.已知向量a与b的夹角为，a(1,0)，|b|2，则|2ab|（ ）

A． B． C．

A．3 B．2 C. 23 D．4

5.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的外接球半径为（ ）

4334

A．1 B．321 C. D． 2226.已知数列{an}的前n项和Snan2bn，若a0，则（ ）

A．nanna1Sn B．Snna1nan C.na1Snnan D．nanSnna1

xy207.若x,y满足约束条件x2y20，则zxy的最大值是（ ）

2xy20A．-2 B．0 C.2 D．4

8.把四个不同的小球放入三个分别标有1～3号的盒子中，不允许有空盒子的放法有（ ） A．12种 B．24种 C.36种 D．48种 9.已知函数f(x)2sin(2x缩短为原来的

6)，现将yf(x)的图象向左平移

12个单位，再将所得图象上各点的横坐标

15倍，纵坐标不变，得到函数yg(x)的图象，则g(x)在[0,]的值域为（ ） 224A．[1,2] B．[0,1] C.[0,2] D．[1,0]

x2y21的左右焦点分别为F1、F2，过F1的直线l1与过F2的直线l2交于点P，设P点的坐10.已知椭圆32标(x,y)，若l1l2，则下列结论中不正确的是（ ）

x2y2x2y2xy1 B．1 C.3x22y21 D．1 A．32323211.某班有三个小组，甲、乙、丙三人分属不同的小组.某次数学考试成绩公布情况如下:甲和三人中的第3小组那位不一样，丙比三人中第1小组的那位的成绩低，三人中第3小组的那位比乙分数高.若甲、乙、丙三人按数学成绩由高到低排列，正确的是（ ）

A．甲、乙、丙 B．甲、丙、乙 C.乙、甲、丙 D．丙、甲、乙

12.已知函数f(x)xlnxax2(a1)x(aR)在x1处取得极大值，则实数a的取值范围是（ ） A．(,) B．(,1) C.(,) D．(1,)

121212第Ⅱ卷

二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在答卷纸的相应位置上）

13.已知实数x满足5x1103x8x，则x ． 14.如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是 ．

15.已知双曲线的两个焦点为F1(10,0)、F2(10,0)，渐近线为yx，则双曲线的标准方程

12为 ．

16.等比数列{an}的前n项和记为Sn，若

S2nS3，则3n ． SnS2n三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，sin(A（1）求A的值；

（2）若a3，BC边上的高为

6)2cosA.

2，求bc的值. 318.甲、乙两名同学准备参加考试，在正式考试之前进行了十次模拟测试，测试成绩如下： 甲：137，121，131，120，129，119，132，123，125，133 乙：110，130，147，127，146，114，126，110，144，146

（1）画出甲、乙两人成绩的茎叶图，求出甲同学成绩的平均数和方差，并根据茎叶图，写出甲、乙两位同学平均成绩以及两位同学成绩的中位数的大小关系的结论：

（2）规定成绩超过127为“良好”，现在老师分别从甲、乙两人成绩中各随机选出一个，求选出成绩“良好”的个数X的分布列和数学期望．

（注：方差s2[(x1x)2(x2x)2(xnx)2]，其中x为x1,x2,,xn的平均数）

19.如图，在底面是菱形的四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ABC60，PAAB2，点E、F分别为BC、PD的中点，设直线PC与平面AEF交于点Q.

1n

（1）已知平面PAB平面PCDl，求证：AB//l； （2）求直线AQ与平面PCD所成角的正弦值.

20.已知直线y2xm(m0)与抛物线y24x交于A、B两点. （1）若OAOB，求m的值；

（2）以AB为边作矩形ABCD，若矩形ABCD的外接圆圆心为(,2)，求矩形ABCD的面积.

12

21.已知函数f(x)x22(a1)x2axlnx2a1(aR). （1）a2时，求f(x)在(0,2)上的单调区间； （2）x0且x1，

2axlnx2a1x均恒成立，求实数a的取值范围. x1请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.

22.选修4-4：坐标系与参数方程

已知平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x3tcos（t为参数，0且），以原

2y3tsin点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为23.已知直线l与曲线C交于

A、B两点，且|AB|23. （1）求的大小；

（2）过A、B分别作l的垂线与x轴交于M,N两点，求|MN|. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数f(x)|x3a|(aR)

（1）当a1时，解不等式f(x)5|x1|；

（2）若存在xR，使f(x)5|x1|成立，求a的取值范围.

试卷答案

一、选择题

1-5:BCBBB 6-10:DCCAA 11、12：BD

二、填空题

x2y2171 16. 13. 14.11 15.8243三、解答题

17.（1）∵sin(A∵0A∴A（2）由已知，63)2cosA，∴sinA3cosA，∴tanA3，

12143bcsinA，∵A，∴bc 23233又∵3(3)2b2c22bccosAb2c2bc(bc)23bc(bc)24 ∴(bc)27∴bc7 18.（1）茎叶图略，x127，s235，甲的中位数大于乙的中位数，甲的平均成绩小于乙的平均成绩 （2）由已知，X的可能取值为0,1,2，p(X0)111，p(X1)，p(X2)， 424X的分布列为（略）E(X)1

19.（1）∵AB//CD，AB平面PCD，CD平面PCD ∴AB//平面PCD，

∵AB平面PAB，平面PAB平面PCDl ∴AB//l

（2）∵底面是菱形，E为BC的中点，AB2 ∴BE1，AE3，AEBC

∴AEAD∵PA平面ABCD，则以点A为原点，直线AE、AD、AP分别为轴建立如图所示空间直角坐标系，则D(0,2,0)、P(0,0,2)、C(3,1,0)、E(3,0,0)

∴F(0,1,1)，AE(3,0,0)，AF(0,1,1)，DC(3,1,0)，DP(0,2,2)， 设平面PCD的法向量为n(x,y,z)，有AEn0，AFn0，得n(1,3,3)

设AQAC(1)AP，则AQ(3,,2(1))，AQmAEnAF

33m2222则n解之得mn，∴AQ(3,,)，

33332(1)n设直线AQ与平面PCD所成角为

3105则sin|cosn,AQ| 35∴直线AQ与平面PCD所成角的正弦值为33 520.解：（1）y2xm与y4x联立得y22y2m0 由0得m1，设A(x1,y1)，B(x2,y2).则 2y1y22，y1y22m ∵OAOB，∴OAOB0

(y1y2)2y1y2，∴y1y216∴2m16 ∴0x1x2y1y216m8，满足题意

（2）设弦AB的中点为M，则yM∵TMAB∴

y1y2ym1m 1，xMM2222121∴m4，

11m22则M(,1)，∴|MT|5，∴|CD|25 ∴|y1y2|(y1y2)24y1y248m6∴|AB|35 ∴面积为|AB||CD|30

21.（1）a2时，f'(x)2(x12lnx)，设h(x)f'(x)， 当x(0,2)时，h'(x)252x20，则h(x)在(0,2)上是单调递减函数，即f'(x)在 x(0,2)上是单调递减函数，

∵f'(1)0∴1x2时，f'(x)0；0x1时，f'(x)0 ∴在(0,2)上f(x)的单调增区间是(0,1)，单调减区间是(1,2)； （2）x1时，2axlnx(2a1x)(x1)，即2alnxx2a22a1； x2a10x1时，2axlnx(2a1x)(x1)，即2alnxx2a2；

x2a1(x0)， x2a2a1(x1)(x2a1)则g'(x)1 22xx2(x1)2a1时，(2a1)1，∵g'(x)0，∴g(x)在(0,)上单调递增

x2设g(x)2alnxx2a2∴x1时，g(x)g(1)0；0x1时，g(x)g(1)0，∴a1符合题意；

a1时，(2a1)1，1x(2a1)时，g'(x)0，∴g(x)在(1,2a1)上单调递减，

∴当1x(2a1)时，g(x)g(1)0，与x1时，g(x)0矛盾；舍 a1时，设M为(2a1)和0中的最大值，当Mx1时，g'(x)0，

∴g(x)在(M,1)上单调递减，∴当Mx1时，g(x)g(1)0，与0x1时，g(x)0矛盾；舍 综上，a{1}

22.（1）由已知，直线l的方程为tanxy3tan30，∵|OA||OB|23，|AB|23，

∴O到直线l的距离为3，则3|3tan3|tan21，解之得tan3 3∵0且2|AB|（2）|MN|4

cos3012∴6

23.（1）由已知|x3||x1|5 x1时，解得x，则x1； 21x3时，解得x；则x

99，则x 2219综上：解集为{x|x或x}

22x3时，解得x（2）∵||x3a||x1|||(x3a)(x1)||3a1| ∴|x3a||x1||3a1|

当且仅当(x3a)(x1)0且|x3a||x1|时等号成立. ∴|3a1|5，解之得a2或a， ∴a的取值范围为(,)(2,)

4343