一、选择题（每小题3分，共计45分） 1．下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A．
B．
C．
D．
2．点P（1，﹣2）关于x轴对称的点的坐标为（ ） A．（1，2） B．（1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（﹣1，﹣2）
3．已知直角三角形中30°角所对的直角边为2cm，则斜边的长为（ ） A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm
4．下列各组数可能是一个三角形的边长的是（ ） A．1 2 4 B．4 5 9 C．4 6 8 D．5 5 11
5．如图，△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，以下结论： （1）△ABD≌△ACD； （2）AD⊥BC；
（3）∠B=∠C； （4）AD是△ABC的角平分线． 其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．小强站在镜前，从镜子中看到镜子对面墙上挂着的电子表，其读数如图所示，则电子表的实际时刻是（ ）
A．15：01 B．10：51 C．10：21 D．12：01
7．如图，将两根钢条AA′、BB′的中点 O连在一起，使AA′、BB′能绕着点O自由
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转动，就做成了一个测量工具，由三角形全等可知A′B′的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是（ ）
A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS
8．如图，一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如下图形，其中∠C=90°，∠B=45°，∠E=30°，则∠BFD的度数是（ ）
A．15° B．25° C．30° D．10°
9．下面四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是（ ） A．
B．
C．
D．
10．若三角形三个内角度数的比为1：2：3，则这个三角形的最小角是（ ） A．30° B．45° C．60° D．90°
11．关于三角形的角平分线和中线，下列说法正确的是（ ） A．都是直线 C．都是线段
B．都是射线
D．可以是射线也可以是线段
12．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．5
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13．如图，△ABC沿BC折叠，使点A与点D重合，则△ABC≌△DBC，其中∠ABC的对应角为（ ）
A．∠ACB B．∠BCD C．∠BDC D．∠DBC
14．等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的底边为（ ）
A．7cm B．3cm C．7cm或3cm D．8cm
15．如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合），给出以下四个结论：①AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形；③2S四边形AEPF=S△ABC；④BE+CF=EF．上述结论中始终正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、解答题：（本大题共有9个小题，共计75分） 16．一个多边形的内角和是外角和的2倍，它是几边形？
17．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣1，5），B（﹣1，0），C（﹣4，3）．
（1）求出△ABC的面积．
（2）在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1． （3）写出点A1，B1，C1的坐标．
18．如图，AD=BC，AC=BD，求证：△EAB是等腰三角形．
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19．将长方形ABCD按如图所示沿EF所在直线折叠，点C落在AD上的点C′处，点D落在点D′处．
（1）求证：△EFC′是等腰三角形． （2）如果∠1=65°，求∠2的度数．
20．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为点E，AE=BE．
（1）猜想：∠B的度数，并证明你的猜想． （2）如果AC=3cm，CD=2cm，求△ABD的面积．
21．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC边上，且BE=CF，BD=CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形； （2）当∠A=40°时，求∠DEF的度数；
（3）△DEF可能是等腰直角三角形吗？为什么？
22．图1、图2中，点B为线段AE上一点，△ABC与△BED都是等边三角形． （1）如图1，求证：AD=CE；
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（2）如图2，设CE与AD交于点F，连接BF． ①求证：∠CFA=60°； ②求证：CF+BF=AF．
23．如图，A（m，0），B（0，n），以B点为直角顶点在第二象限作等腰直角△ABC．
（1）求C点的坐标；
（2）在y轴右侧的平面内是否存在一点P，使△PAB与△ABC全等？若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由．
24．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是AC边上一动点，CE⊥BD于E．
（1）如图（1），若BD平分∠ABC时， ①求∠ECD的度数；
②延长CE交BA的延长线于点F，补全图形，探究BD与EC的数量关系，并证明你的结论；
（2）如图（2），过点A作AF⊥BE于点F，猜想线段BE，CE，AF之间的数量关系，并证明你的猜想．
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2016-2017学年湖北省宜昌XX学校八年级（上）期中数
学试卷
参与试题解析
一、选择题（每小题3分，共计45分） 1．下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A．
B．
C．
D．
【考点】轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形的概念求解，看图形是不是关于直线对称． 【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项正确； B、不是轴对称图形，故此选项错误； C、不是轴对称图形，故此选项错误； D、不是轴对称图形，故此选项错误． 故选：A．
2．点P（1，﹣2）关于x轴对称的点的坐标为（ ） A．（1，2） B．（1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（﹣1，﹣2） 【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．
【分析】根据平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于x轴的对称点的坐标是（x，﹣y），即横坐标不变，纵坐标变成相反数，即可得出答案． 【解答】解：根据关于x轴的对称点横坐标不变，纵坐标变成相反数， ∴点P（1，﹣2）关于x轴对称点的坐标为（1，2）， 故选A．
3．已知直角三角形中30°角所对的直角边为2cm，则斜边的长为（ ） A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm
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【考点】含30度角的直角三角形．
【分析】根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答． 【解答】解：∵直角三角形中30°角所对的直角边为2cm， ∴斜边的长为2×2=4cm． 故选B．
4．下列各组数可能是一个三角形的边长的是（ ） A．1 2 4 B．4 5 9 C．4 6 8 D．5 5 11 【考点】三角形三边关系．
【分析】根据哪个选项中两条较小的边的和大于最大的边即可得出答案． 【解答】解：A、因为1+2＜4，所以本组数不能构成三角形．故本选项错误； B、因为4+5=9，所以本组数不能构成三角形．故本选项错误； C、因为4+6＞8，所以本组数可以构成三角形．故本选项正确； D、因为5+5＜11，所以本组数不能构成三角形．故本选项错误； 故选C．
5．如图，△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，以下结论： （1）△ABD≌△ACD； （2）AD⊥BC；
（3）∠B=∠C； （4）AD是△ABC的角平分线． 其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点】等腰三角形的性质．
【分析】由“三线合一”可知（2）（4）正确，由等边对等角可知（3）正确，且容
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易证明△ABD≌△ACD，可得出答案． 【解答】解： ∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∴（3）正确， ∵D为BC的中点，
∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD， ∴（2）（4）正确， 在△ABD和△ACD中
∴△ABD≌△ACD（SSS）， ∴（1）正确， ∴正确的有4个， 故选D．
6．小强站在镜前，从镜子中看到镜子对面墙上挂着的电子表，其读数如图所示，则电子表的实际时刻是（ ）
A．15：01 B．10：51 C．10：21 D．12：01 【考点】镜面对称．
【分析】镜子中看到的数字与实际数字是关于镜面成垂直的线对称．注意镜子的5实际应为2．
【解答】解：电子表的实际时刻是10：21． 故选：C．
7．如图，将两根钢条AA′、BB′的中点 O连在一起，使AA′、BB′能绕着点O自由转动，就做成了一个测量工具，由三角形全等可知A′B′的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是（ ）
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A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS 【考点】全等三角形的应用．
【分析】由O是AA′、BB′的中点，可得AO=A′O，BO=B′O，再有∠AOA′=∠BOB′，可以根据全等三角形的判定方法SAS，判定△OAB≌△OA′B′． 【解答】解：∵O是AA′、BB′的中点， ∴AO=A′O，BO=B′O， 在△OAB和△OA′B′中∴△OAB≌△OA′B′（SAS）， 故选：A．
8．如图，一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如下图形，其中∠C=90°，∠B=45°，∠E=30°，则∠BFD的度数是（ ）
，
A．15° B．25° C．30° D．10° 【考点】三角形的外角性质．
【分析】先由三角形外角的性质求出∠BDF的度数，根据三角形内角和定理即可得出结论．
【解答】解：∵Rt△CDE中，∠C=90°，∠E=30°， ∴∠BDF=∠C+∠E=90°+30°=120°， ∵△BDF中，∠B=45°，∠BDF=120°， ∴∠BFD=180°﹣45°﹣120°=15°．
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故选A．
9．下面四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是（ ） A．
B．
C．
D．
【考点】三角形的角平分线、中线和高．
【分析】根据高的画法知，过点B作AC边上的高，垂足为E，其中线段BE是△ABC的高．
【解答】解：线段BE是△ABC的高的图是D． 故选D．
10．若三角形三个内角度数的比为1：2：3，则这个三角形的最小角是（ ） A．30° B．45° C．60° D．90° 【考点】三角形内角和定理．
【分析】设这三个内角分别为x，2x，3x，根据三角形的内角和为180°，列方程求出角的度数即可．
【解答】解：设这三个内角分别为x，2x，3x， 由题意得，x+2x+3x=180°， 解得：x=30°， 即最小角为30°． 故选A．
11．关于三角形的角平分线和中线，下列说法正确的是（ ） A．都是直线 C．都是线段
B．都是射线
D．可以是射线也可以是线段
【考点】三角形的角平分线、中线和高．
【分析】根据三角形的角平分线与这个角的对边相交，连接这个角的顶点和交点的线段是三角形的角平分线．三角形的中线是：连接一顶点和其对边中点的线段．因而三角形的角平分线、中线都是线段即可得到结论．
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【解答】解：三角形的角平分线和中线都是线段． 故选C．
12．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．5
【考点】角平分线的性质．
【分析】过点D作DF⊥AC于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列出方程求解即可． 【解答】解：如图，过点D作DF⊥AC于F， ∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB， ∴DE=DF，
由图可知，S△ABC=S△ABD+S△ACD， ∴×4×2+×AC×2=7， 解得AC=3． 故选：A．
13．如图，△ABC沿BC折叠，使点A与点D重合，则△ABC≌△DBC，其中∠ABC的对应角为（ ）
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A．∠ACB B．∠BCD C．∠BDC D．∠DBC 【考点】翻折变换（折叠问题）；全等三角形的性质．
【分析】根据翻折变换的性质以及全等三角形对应角相等解答． 【解答】解：∵△ABC≌△DBC， ∴∠ABC的对应角为∠DBC． 故选D．
14．等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的底边为（ ）
A．7cm B．3cm C．7cm或3cm D．8cm
【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．
【分析】已知的边可能是腰，也可能是底边，应分两种情况进行讨论． 【解答】解：当腰是3cm时，则另两边是3cm，7cm．而3+3＜7，不满足三边关系定理，因而应舍去．
当底边是3cm时，另两边长是5cm，5cm．则该等腰三角形的底边为3cm． 故选：B．
15．如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合），给出以下四个结论：①AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形；③2S四边形AEPF=S△ABC；④BE+CF=EF．上述结论中始终正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
【分析】利用旋转的思想观察全等三角形，寻找条件证明三角形全等．根据全等三角形的性质对题中的结论逐一判断．
【解答】解：∵∠APE、∠CPF都是∠APF的余角，
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∴∠APE=∠CPF，
∵AB=AC，∠BAC=90°，P是BC中点， ∴AP=CP，
在△APE和△CPF中，
，
∴△APE≌△CPF（ASA）， 同理可证△APF≌△BPE，
∴AE=CF，△EPF是等腰直角三角形，S四边形AEPF=S△ABC，①②③正确； 故AE=FC，BE=AF， ∴AF+AE＞EF，
∴BE+CF＞EF，故④不成立． 始终正确的是①②③． 故选B．
二、解答题：（本大题共有9个小题，共计75分） 16．一个多边形的内角和是外角和的2倍，它是几边形？ 【考点】多边形内角与外角．
【分析】多边形的外角和是360度，多边形的外角和是内角和的一半，则多边形的内角和是720度，根据多边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，依此列方程可求解．
【解答】解：设多边形边数为n． 则360°×2=（n﹣2）•180°， 解得n=6． 故是六边形．
17．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣1，5），B（﹣1，0），C（﹣4，3）．
（1）求出△ABC的面积．
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（2）在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1． （3）写出点A1，B1，C1的坐标．
【考点】作图-轴对称变换．
【分析】（1）根据网格可以看出三角形的底AB是5，高是C到AB的距离，是3，利用面积公式计算．
（2）从三角形的各顶点向y轴引垂线并延长相同长度，找对应点．顺次连接即可．
（3）从图中读出新三角形三点的坐标． 【解答】解：（1）S△ABC=×5×3=
（或7.5）（平方单位）．
（2）如图．
（3）A1（1，5），B1（1，0），C1（4，3）．
18．如图，AD=BC，AC=BD，求证：△EAB是等腰三角形．
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【考点】等腰三角形的判定；全等三角形的判定与性质．
【分析】先用SSS证△ADB≌△BCA，得到∠DBA=∠CAB，利用等角对等边知AE=BE，从而证得△EAB是等腰三角形．
【解答】证明：在△ADB和△BCA中，AD=BC，AC=BD，AB=BA， ∴△ADB≌△BCA（SSS）． ∴∠DBA=∠CAB． ∴AE=BE．
∴△EAB是等腰三角形．
19．将长方形ABCD按如图所示沿EF所在直线折叠，点C落在AD上的点C′处，点D落在点D′处．
（1）求证：△EFC′是等腰三角形． （2）如果∠1=65°，求∠2的度数．
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【分析】（1）根据折叠的性质得到∠EFC′=∠1，由平行线的性质得到∠1=∠FBC′，等量代换得到∠EFC′=′FEC′，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论； （2）根据折叠的性质和已知条件得到∠EC′F=180°﹣∠FEC′﹣∠EFC′=180°﹣65°=65°=50°，由于∠D′C′F=∠2+∠EC′F=∠C=90°即可得到结论．
【解答】（1）证明：四边形EFC′D′是将长方形ABCD中的四边形CDEF沿EF所在直线折叠得到的， ∴∠EFC′=∠1，
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∵AD∥BC， ∴∠1=∠FBC′， ∴∠EFC′=′FEC′， ∴FC′=EC′，
∴△EFC′是等腰三角形；
（2）解：∵∠1=∠FEC′=∠EFC′，∠1=65°，
∴∠EC′F=180°﹣∠FEC′﹣∠EFC′=180°﹣65°=65°=50°， ∵∠D′C′F=∠2+∠EC′F=∠C=90°， ∴∠2=90°﹣∠EC′F=40°， ∴∠2=50°．
20．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为点E，AE=BE．
（1）猜想：∠B的度数，并证明你的猜想． （2）如果AC=3cm，CD=2cm，求△ABD的面积．
【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．
【分析】（1）根据已知条件得到AD=BD，由等腰三角形的性质得到∠B=∠DAE，根据AD是△ABC的角平分线，求得∠DAE=∠DAC，于是得到∠B=∠DAE=∠DAC，列方程即可得到结论；
（2）根据已知条件求得Rt△ACD≌Rt△AED，根据全等三角形的性质得到AE=BE，于是得到AB=2AE=2×3=6，即可得到结论． 【解答】解：（1）猜想：∠B=30°， ∵DE⊥AB且AE=BE， ∴AD=BD，
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∴∠B=∠DAE，
∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠DAE=∠DAC， ∴∠B=∠DAE=∠DAC， ∵∠C=90°，
∴∠B+∠DAE+∠DAC=90°， ∴∠B=30°；
（2）∵∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB， 在Rt△ACD与Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED， ∴AE=BE，
∴AB=2AE=2×3=6，
∴S△ABD=AB•DE=×6×2=6cm2．
21．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC边上，且BE=CF，BD=CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形； （2）当∠A=40°时，求∠DEF的度数；
（3）△DEF可能是等腰直角三角形吗？为什么？
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
【分析】（1）由SAS可得△BDE≌△CEF，得出DE=EF，第一问可求解；
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（2）由（1）中的全等得出∠BDE=∠CEF，再由角之间的转化，从而可求解∠DEF的大小；
（3）由于AB=AC，∴∠B=∠C≠90°=∠DEF，所以其不可能是等腰直角三角形． 【解答】（1）证明：∵AB=AC∴∠B=∠C， 在△BDE与△CEF中∴△BDE≌△CEF．
∴DE=EF，即△DEF是等腰三角形．
（2）解：由（1）知△BDE≌△CEF， ∴∠BDE=∠CEF
∵∠CEF+∠DEF=∠BDE+∠B ∴∠DEF=∠B ∵AB=AC，∠A=40° ∴∠DEF=∠B=
．
（3）解：△DEF不可能是等腰直角三角形． ∵AB=AC，∴∠B=∠C≠90° ∴∠DEF=∠B≠90°，
∴△DEF不可能是等腰直角三角形．
22．图1、图2中，点B为线段AE上一点，△ABC与△BED都是等边三角形． （1）如图1，求证：AD=CE；
（2）如图2，设CE与AD交于点F，连接BF． ①求证：∠CFA=60°； ②求证：CF+BF=AF．
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【考点】三角形综合题．
BD=BE，AB=BC，【分析】（1）如图1，利用等边三角形性质得：∠ABC=∠DBE=60°，再证∠ABD=∠CBE，根据SAS证明△ABD≌△CBE得出结论；
（2）①如图2，利用（1）中的全等得：∠BCE=∠DAB，根据两次运用外角定理可得结论；
②如图3，作辅助线，截取FG=CF，连接CG，证明△CFG是等边三角形，并证明△ACG≌△BCF，由线段的和得出结论．
【解答】证明：（1）如图1，∵△ABC与△BED都是等边三角形， ∴BD=BE，AB=BC，∠ABC=∠DBE=60°， ∴∠ABC+∠CBD=∠DBE+∠CBD， 即∠ABD=∠CBE， 在△ABD和△CBE中， ∵
，
∴△ABD≌△CBE（SAS）， ∴AD=CE，
（2）①如图2，由（1）得：△ABD≌△CBE， ∴∠BCE=∠DAB，
∵∠ABC=∠BCE+∠CEB=60°， ∴∠ABC=∠DAB+∠CEB=60°， ∵∠CFA=∠DAB+∠CEB， ∴∠CFA=60°，
②如图3，在AF上取一点G，使FG=CF，连接CG， ∵∠AFC=60°，
∴△CGF是等边三角形，
第19页（共25页）
∴∠GCF=60°，CG=CF， ∴∠GCB+∠BCE=60°， ∵∠ACB=60°， ∴∠ACG+∠GCB=60°， ∴∠ACG=∠BCE， ∵AC=BC，
∴△ACG≌△BCF， ∴AG=BF， ∵AF=AG+GF， ∴AF=BF+CF．
23．如图，A（m，0），B（0，n），以B点为直角顶点在第二象限作等腰直角△ABC．
（1）求C点的坐标；
（2）在y轴右侧的平面内是否存在一点P，使△PAB与△ABC全等？若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由．
【考点】全等三角形的判定与性质；坐标与图形性质；等腰直角三角形． 【分析】（1）过点C作CD⊥y轴于点D，由△ABC为等腰直角三角形即可得出∠ABC=90°、AB=BC，通过角的计算即可得出∠ABO=∠BCD，再结合∠CDB=∠BOA=90°
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即可利用AAS证出△ABO和△BCD，由此即可得出BD、CD的长度，进而可得出点C的坐标；
（2）△PAB与△ABC全等分两种情况：①当∠ABP=90°时，根据∠ABC=∠ABP=90°、△ABC≌△ABP，即可得出点C、P关于点B对称，结合点B、C的坐标即可得出点P的坐标；②当∠BAP=90°时，由∠ABC=∠BAP=90°即可得出BC∥AP，根据△ABC≌△BAP即可得出BC=AP，进而可找出四边形APBC为平行四边形，结合点A、B、C的坐标即可找出点P的坐标．综上即可得出结论． 【解答】解：（1）过点C作CD⊥y轴于点D，如图1所示． ∵△ABC为等腰直角三角形， ∴∠ABC=90°，AB=BC． ∵CD⊥BD，BO⊥AO， ∴∠CDB=∠BOA=90°．
∵∠CBD+∠ABO=90°，∠CBD+∠BCD=90°， ∴∠ABO=∠BCD． 在△ABO和△BCD中，∴△ABO≌△BCD（AAS）， ∴BD=AO，CD=BO， ∵A（m，0），B（0，n）， ∴BD=﹣m，CD=n，
∴点C的坐标为（﹣n，n﹣m）． （2）△PAB与△ABC全等分两种情况： ①当∠ABP=90°时，如图2所示． ∵∠ABC=∠ABP=90°，△ABC≌△ABP， ∴点C、P关于点B对称， ∵C（﹣n，n﹣m），B（0，n）， ∴点P的坐标为（n，n+m）； ②当∠BAP=90°时，如图3所示． ∵△ABC≌△BAP，
第21页（共25页）
，
∴∠ABC=∠BAP=90°，BC=AP， ∴BC∥AP，
∴四边形APBC为平行四边形．
∵A（m，0）、B（0，n），C（﹣n，n﹣m）， ∴点P的坐标为（m+n，m）．
综上所述：在y轴右侧的平面内存在一点P，使△PAB与△ABC全等，P点坐标为（n，n+m）或（m+n，m）．
24．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是AC边上一动点，CE⊥BD于E．
（1）如图（1），若BD平分∠ABC时， ①求∠ECD的度数；
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②延长CE交BA的延长线于点F，补全图形，探究BD与EC的数量关系，并证明你的结论；
（2）如图（2），过点A作AF⊥BE于点F，猜想线段BE，CE，AF之间的数量关系，并证明你的猜想．
【考点】三角形综合题；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形． 【分析】（1）①根据等腰直角三角形的性质得出∠CBA=45°，再利用角平分线的定答即可；②延长CE交BA的延长线于点G得出CE=GE，再利用AAS证明△ABD≌△ACG，利用全等三角形的性质解答即可；
（2）过点A作AH⊥AE，交BE于点H，证明△ABH≌△ACE，进而得出CE=BH，利用等腰直角三角形的判定和性质解答即可．
【解答】解：（1）①∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC， ∴∠CBA=45°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠DBA=22.5°， ∵CE⊥BD，
∴∠ECD+∠CDE=90°，∠DBA+∠BDA=90°， ∵∠CDE=∠BDA， ∴∠ECD=∠DBA=22.5°；
②BD=2CE．
证明：延长CE交BA的延长线于点F，如图1， ∵BD平分∠ABC，CE⊥BD， ∴CE=FE，
在△ABD与△ACF中，
，
∴△ABD≌△ACF（AAS）， ∴BD=CF=2CE；
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（2）结论：BE﹣CE=2AF．
证明：过点A作AH⊥AE，交BE于点H，如图2， ∵AH⊥AE，
∴∠BAH+∠HAC=∠HAC+∠CAE， ∴∠BAH=∠CAE， 在△ABH与△ACE中，
，
∴△ABH≌△ACE（ASA）， ∴CE=BH，AH=AE，
∴△AEH是等腰直角三角形， ∴AF=EF=HF， ∴BE﹣CE=2AF．
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2017年2月13日
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