2017年秋期高中三年级期终质量评估
数学试题（文）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合A.
B.
C.
，
D.
，则
（ ）
【答案】A【解析】【详解】
，故选A.
或
，
，
2.已知A.
B.
（为虚数单位），则复数（ ）
C.
D.
【答案】C【解析】
3.已知双曲线）
，，，
，且该双曲线
，故选C.经过点
，则双曲线
的方程是（
的一条渐近线的方程是：
A. 【答案】D【解析】
B. C. D.
由题可设双曲线的方程为：故选D.4.设
，则
，将点代入，可得，整理即可得双曲线的方程为.
（ ）
A. B. 【答案】B【解析】因为
，
C. D.
，故选B.
5. 从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（ ）A.
B.
C. D. 【答案】B【解析】
试题分析：从甲乙等名学生中随机选出人，基本事件的总数为
，所以甲被选中的概率
考点：古典概型及其概率的计算．
，故选B．
，甲被选中包含的基本事件的个数
6.已知实数满足，则目标函数（ ）
A. ， B. ，
C. 【答案】C【解析】
，无最小值 D. ，无最小值
画出约束条件表示的可行域，如图所示的开发区域，线
经过
时
变形为 ，平移直线，由图知，到直
无
，因为可行域是开发区域，所以无最小值，
最小值，故选C.
【方法点晴】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的外接球的表面积
（ ）
A. B. C. D.
【答案】C【解析】
由三视图可知，该几何体为如图所示的四棱锥，图中正方体的棱长为 ， 该多面体如图所示，外接球的
半径为为，外接圆的半径，由该多面体的外接球的表面积
可得 ，，故选C.
，故
8.运行如图所示的程序框图，则输出结果为（ ）
A. 2017 【答案】D【解析】
B. 2016 C. 1009 D. 1008
输出结果为 ，选D.
点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.
9.为得到的图象，只需要将的图象（ ）
A. 向右平移个单位 B. 向右平移个单位C. 向左平移个单位 D. 向左平移个单位【答案】D【解析】
试题分析：因为，所以为得到的图
象，只需要将的图象向左平移个单位；故选D．
考点：1.诱导公式；2.三角函数的图像变换．10.函数
的大致图象为（ ）
A. 【答案】C【解析】
B. C. D.
当时，，由，得，由，得，在上递增，在
上递减，，即时，，只有选项C符合题意，故选C.
11.设数列使A. 9
的通项公式
成立的最小正整数为（ ）
，若数列的前项积为，则
B. 10 C. 11 D. 12
【答案】C【解析】
因为
，所以，该数列的前项积为
，使
12.抛物线
成立的最小正整数为，故选C.
，若抛物线上存在一点，使
的焦点为，过且倾斜角为60°的直线为，
关于直线对称，则A. 2
B. 3
C. 4
（ ）D. 5
【答案】A【解析】
关于过倾斜角为
，由于
得
，故选A.
的直线对称， ，
，
，由抛物线定义知，
等于点
，
到准线的距离，即
，解
，代入抛物线方程可得
【 方法点睛】本题主要考查抛物线的定义和几何性质，以及点关于直线对称问题，属于难题. 与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决.
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.曲线【答案】【解析】
，
，即
，故答案为
切线的斜率.
，又过
所求切线方程为
在点
处的切线方程为__________．
【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线方程，属于简单题. 求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出
在
处的导数，即
在点
出的切线斜率（当曲线
在处的切线与轴平行时，在 .
处导数不存在，切线方程为14.已知点
，
，
）；（2）由点斜式求得切线方程，若
，则实数的值为_______．
【答案】【解析】点
，
，
，
，两边平方得
实数的值为，故答案为.15.已知
的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________．
，又，解得
，，经检验
是原方程的解，
【答案】【解析】
试题分析：
考点：解三角形，三角形外接圆.
，由正弦定理得.
16.若不等式【答案】【解析】
对任意正数恒成立，则实数的取值范围为_____．
不等式对任意正数恒成立，，
，当且仅当
范围为
，故答案为
.
时取等号，，实数的取值
三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17.等差数列（1）求数列（2）设【答案】(1) 【解析】
试题分析：（1）根据等差数列
的
，且
，
，
构成等比数列，列出关于首项、公差
的通项公式；（2）由（1）可
中，已知
，
，且
，
，
构成等比数列
的前三项.
的通项公式；，求数列
的前项和.
(2)
的方程组，解方程组可得与的值，从而可得数列得
的通项公式，进而可得
，利用错误相减法求和后即可得结果.
试题解析：（1）设等差数列的公差为，则由已知
∴
又
解得
或
（舍去）
∴又（2）∴
，∴
，∴
，∴
两式相减得则
.
【易错点晴】本题主要等差数列、等比数列的通项公式、“错位相减法”求数列的和，属于难题. “错位相减法”求数列的和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；②相减时注意最后一项 的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以
.
18.经销商小王对其所经营的某一型号二手汽车的使用年数（0＜≤10）与销售价格（单位：万元/辆）进行整理,得到如下的对应数据：使用年数售价
216
413
69.5
87
104.5
（Ⅰ）试求关于的回归直线方程；
（附：回归方程中，
万元,根据（Ⅰ）中所求的回归方程,预测为何
（Ⅱ）已知每辆该型号汽车的收购价格为值时,小王销售一辆该型号汽车所获得的利润最大.【答案】（I）【解析】
；（II）预测当
时,销售利润取得最大值．
试题分析：（1）由表中数据利用平均数公式计算，根据公式求出将样本中心点坐标代入回
时取得最
归方程求得，即可写出回归直线方程；（2）写出利润函数大值.
，利用二次函数的图象与性质求出
试题解析：（1）由已知：,,,
，
所以回归直线的方程为
；
（2）
，
所以预测当
时,销售利润取得最大值．
中，侧面
.；，求三棱柱
的高.
为矩形，
，
，是
的中点，
与
交于点
19.如图，在三棱柱，且
平面
（1）证明：（2）若
【答案】(1)见解析(2) 【解析】
试题分析：（1）在矩形
中，根据相似三角形的性质可知
，由
平面
，可得
平面平面，∴；（2）设三棱柱的高为，即三棱锥
的高为.又
试题解析：（1）在矩形又
平面平面
，∴平面
，由得 ,∴.
中，由平面几何知识可知
，
，∴
.
平面
（2）在矩形∵设三棱柱
，∴
中，由平面几何知识可知
，∴
的高为，即三棱锥
，
的高为.
，
又
，由
,∴
.
得
20.平面直角坐标系于长轴的弦长为
．
中，已知椭圆（）的左焦点为，离心率为，过点且垂直
（1）求椭圆的标准方程；（2）若过点
的直线与椭圆相交于不同两点
、
，求
面积的最大值．
【答案】(1) 【解析】
(2)
试题分析：（1）运用椭圆的离心率公式和过焦点垂直于对称轴的弦长，结合组，求出 、，可得椭圆的方程；（2）讨论直线入椭圆方程，运用韦达定理与弦长公式求得弦长运用换元法和基本不等式，即可得到
的斜率为和不为，设
的关系列出关于 、 、的方程
方程为
，代
，求出点到直线的距离运用三角形的面积公式，化简整理，
面积的最大值.
试题解析：（1）由题意可得又
，所以
，
．
， 令，可得，即有，
所以椭圆的标准方程为；
（2）设，，直线方程为
，
，所以
．
，
代入椭圆方程，整理得则
∴
当且仅当，即．（此时适合的条件）取得等号．
则面积的最大值是．
【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形最值的.21.已知函数（Ⅰ）当（Ⅱ）若
时，求在
（其中，为常数且的单调区间；
）在
处取得极值．
上的最大值为1，求的值．
【答案】（Ⅰ）单调递增区间为【解析】
，；单调递减区间为; （Ⅱ）或.
试题分析：（Ⅰ）由函数的解析式，可求出函数导函数的解析式，进而根据构造关于，的方程，根据围，可得函数
的单调区间；
是的一个极值点，可
求出值；可得函数导函数的解析式，分析导函数值大于0和小于0时，的范
（Ⅱ）对函数求导，写出函数的导函数等于0的的值，列表表示出在各个区间上的导函数和函数的情况，做出极值，把极值同端点处的值进行比较得到最大值，最后利用条件建立关于的方程求得结果．试题解析：
（Ⅰ）因为因为函数
在
，所以
处取得极值，
，
当时，，，
由即函数
，得或；由
，，
，得，
．
的单调递增区间为；单调递减区间为
（Ⅱ）因为令因为当所以令
，在时，在区间，解得
，
，
处取得极值，所以在
上单调递增，在上的最大值为，
，
，上单调递减，
当当
，时，
在
，
上单调递增，
或
上单调递减，
上单调递增，
，
所以最大值1可能的在所以当
时，
在区间
或
处取得，而，解得
；
上单调递减，
上单调递增，处取得，
上单调递增，
所以最大值1可能在而所以
，
，
解得当
，与时，
在区间
矛盾．
上单调递增，在
上单调递减，
，矛盾．
所最大值1可能在处取得，而
综上所述，或．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在极坐标系（与直角坐标系
的方程为
．
取相
同的长度单位，且以原点（1）求圆（2）若点【答案】(1) 【解析】
试题分析：（1）由
为极点，以轴非负半轴为极轴）中，圆
的直角坐标方程；
，设圆
与直线交于点
(2)
，求
的最小值．
得，由，从而得解；
，
（2）将的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得
，。由韦达定理代入求解即可.
试题解析：（1）由
得
，化为直角坐标方程为
（*）
（2）将的参数方程代入圆的直角坐标方程，得由
，故可设
是方程（*）的两根，
∴又直线过点
，故结合的几何意义得：
∴的最小值为．
23.选修4-5：不等式选讲已知（1）求（2）证明：【答案】(1) 【解析】
试题分析：（Ⅰ）首先利用三角绝对值不等式的性质求得
最小值的表达式，然后结合已知条件求解即可；
，
，函数的值；
与 (2)见解析
不可能同时成立．
的最小值为．
（Ⅱ）首先由（1）及基本不等式，得
相矛盾，即证得结论．
试题解析：（1）∵（2）∵假设同理
，∴
与
，这与且
，∴
，然后假设与同时成立，推出且，与
.
，∴
及与
，得
．
，由基本不等式知道：同时成立，则由
矛盾，故
不可能同时成立.
考点：1、基本不等式；2、三角绝对值不等式的性质；3、反证法．