2020-2021年上海市华师大二附中高一上期末

2020学年华师大二附中第一学期高一数学教学质量检测

（考试时间90分钟，本卷满分100分）

一、填空题（本大题共10小题，每小题4分，共44分．答案填在答题纸相应位置）．

11．计算：83log3752log35 ．

2【解析】原式2211222233log33552log35

2 42log332log352log354419.

2．已知cos1，,0，则tan ． 32,0，所以sin1cos222， 23sin22． cos【解析】因为所以tan

x2x41的解集为 ． 3．不等式

x1x2x4x22x3x2x4【解析】不等式1化为10，0，

x1x1x1(x1)(x3)(x1)0，解得x3或1x1．故解集为[1,1)[3,)． x104．已知一扇形的圆心角为

2，弧长是cm，则扇形的面积是 cm． 3，弧长是cm，设其所在圆的半径为r， 3222【解析】因为一扇形的圆心角为

r1133，因此该扇形的面积是Slr3.

322,5．已知幂函数f(x)的图像过点2，则f(3) ． 2122,fxx【解析】因为幂函数的图象过点，解得， ，所以2222

即fxx12，所以f(3)31213. 3(x)是其反函数，则f1(1) ．

6．已知函数f(x)log22x1，yf【解析】令log2(2x1)1log22，所以2x12，解得x7．方程lgx2lg2xx610的解为 ．

2331，即f(1). 22【解析】因为lgx2lg2xx610，

2所以lg10x2lg2xx6，所以10x22xx6，

22整理得：2x29x260，解得x2或x13； 2又由x203x解得； 222xx601313，原方程的解集为. 22所以x8．关于x的方程9x4a3x40有实数根，则实数a的取值范围 ． 【解析】令t3x0，则方程t(4a)t40有正根，又两根的积为4，

24a160所以，解得a8.

4a0202120219．已知a0，b0且ab3，式子的最小值是 ．

a2019b20202【解析】令a2019m,b2020n，则mna2019b20204042，

202120211nm1112021112 mna2019b2020mn40422mn当且仅当mn2021时取等号， 所以

20212021的最小值是2，当且仅当a2,b1，等号成立

a2019b2020xx1x2x1x2x3x2020，Fxfxmn，若函数

x202110.已知fxyFx为奇函数，则x2mxn的最小值为____________.

【解析】f(x)1111x1x211

x2021

112021x1x2

1x2021所以f(2022x)2021112021x2020x1， x1所以fxf2022x4042，

所以m1011,n2021，令gxxm|xn|x1011|x2021|，

22通过图像可知ming1011,g1011g101120211011，

所以x2mxn的最小值为20211011.

二、选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

x1,x2R，11.已知f(x)是R上的偶函数，则“x1x20”是“fx1f(x2)”的（ A ）．

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

【解析】由题意，函数fx是R上的偶函数，

若x1x20，则x1x2，则fx1fx2fx2成立，即充分性成立；若fx1fx2，则x1x2或x1x2，即必要性不一定成立， 所以“x1x20”是“fx1fx2”的充分不必要条件.故选A.

12.函数yax． a0的图像大致为（ A ）2x1

A. B. C. D. 【解析】记f(x)axaxf(x)，函数为奇函 f(x)，函数定义域为，则R2x21x1数，排除BC，又x0时，f(x)0，排除D．故选A．

13.设集合Ax|x2x30，集合Bx|x2ax10,a0，若A有一个整数，则实数a的取值范围是（ B ）

22B中恰

A. 0, B. ,

43343 C.,2 D.1, 434【解析】Ax∣x22x30,31,，

因为函数f(x)x22ax1的对称轴为直线xa，且a0,f(0)10， 根据对称性可知要使得AB中恰有一个整数，则这个整数为2，

所以f(2)0且f(3)0，即96a1034，所以a，故选B.

44a104314.已知函数f(x)111x,x22，则方程xf(x)10的解的个数是（12f(x2),2x6

A.5

B.6

C.7

D.8

11|x1|,x(【解析】由xf(x)10得f(x)1x，因为f(x)2,2]，

12f(x2),x(2,6]1x1 所以当x(,2]时，f(x)22,x(,1]1， 2x32,x(1,2] 而当x(2,6]时，f(x)12f(x2)， 以几个关键点来判断两个函数f(x),g(x)1x的交点情况， f(1)g(1)1；f(2)g(2)12；f(3)12f(1)112,g(3)3；

f(4)12f(2)14,g(4)14；f(5)12f(3)14,g(5)15；

f(6)12f(4)118,g(6)6； 作出图像，可知有7个不同的交点，故选C.

C ）

三、解答题（本大题共4小题，共44分．解答要写出文字说明、证明过程或演算步骤）． 15．（本题满分10分，共有2小题，第（1）小题6分，第（2）小题4分）

2xa已知函数f(x)x为奇函数．

21（1）求实数a的值，并证明f(x)是严格增函数； （2）若实数t满足不等式f(1)f(1)0，求t的取值范围. t2【解析】（1）因为yfx是定义域为奇函数，

2xa2xa 所以f(x)f(x)，所以xx2121所以2(a1)1a，所以a1，所以f(x)x2x1， x212x112x212(2x12x2)任取x1x2，则f(x1)f(x2)x1． 212x21(2x11)(2x21)因为x1x2，所以2x12x2．所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)． 所以f(x)在定义域上为严格增函数．

（2）因为f(11)f(1)，f(x)是严格增函数，则1，得t2,3. t2t216．（本题满分10分，共有2小题，第（1）小题5分，第（2）小题5分）． 已知函数f(x)ax4x6.

（1）若函数ylog2f(x)的值域为R，求实数a的取值范围；

（2）若函数ylogaf(x)在区间1,3上单调递增，求实数a的取值范围． 【解析】（1）因为ylog2ax24x6的值域为R，

2所以yax4x6的值域包含(0,)，

2当a0时，y4x6满足题意， 当a0时，a02，解得0a；

31624a0 （2）当a1时，ylogax在(0,)上严格增，

所以f(x)ax24x6在(1,3)上严格增且恒正，

21 所以a，解得a2，

f(1)0 当0a1时，ylogax在(0,)上严格减， 所以f(x)ax24x6在(1,3)上严格减且恒正，

23 所以a，无解，

f(3)0 综上，实数a的取值范围是[2,).

17．（本题满分12分，共有2小题，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）

新冠疫情造成医用防护服短缺，决定为生产防护服的公司提供xx0,10（万元）的专项补贴用于扩大生产，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服，公司在收到x（万元）补贴后，防护服产量将增加到tk612，其中kk0.5,1（万件）

x4为工人的复工率，公司生产t万件防护服还需投入成本208x50t（万元）

（1）将公司生产防护服的利润y（万元）表示为补贴x（万元）的函数（补贴x万元计入公司收入）；

（2）当复工率k0.7时，补贴多少万元才能使公司的防护服利润达到最大？ （3） 对任意的x0,10（万元），当复工率k达到多少时，公司才能不亏损？（精确到0.01）

yx80t208x50t30t207x180k【解析】（1）由题意，

x0,10；

（2）当k0.7时，y1800.7360k7x20， x43600.77x20

x47x2522521067x+4+134 x4x+4252+13450， x+427x+4

当且仅当7x+4252，即x2时等号成立， x+4360k7x200 x4所以补贴2万元才能使公司的防护服利润达到最大50万元； （3）若对任意的x∈[0，10]，公司都不产生亏损，则180k在x0,10恒成立，

17x248x80所以k，令tx22,12， 180x217t220t121127t20所以k， 180t180t因为ft7t所以ftmax1220在2,12上递增， t121f1271220105，所以k1050.58.

12180即当工人的复工率达到0.58时，公司不亏损.

18．（本题满分12分，共有3小题，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）．

32x7已知函数f(x)，g(x)log2x．

2x3（1）当x0,1时，求函数f(x)的值域；

（2）若关于x的方程g(x)t有两个不等根,，求的值； （3）已知存在实数a，使得对任意的m0,1，关于x的方程

14g2(x)4ag(x)3a1f(m)0在区间,4上恰有3个不等根x1,x2,x3，求实数a8的取值范围． 【解析】（1）f(x)32x322x332在x0,1上严格减， 2x3 又f(0)2,f(1)1，所以函数f(x)的值域为[1,2]；

（2）因为g(x)log2x在x0,1上严格减，在x1,上严格增， 因为t|g(α)||g(β)|，所以0α1β， 所以log2log2，即log2αlog2β， 所以0log2αlog2βlog2αβ，所以αβ1； （3）令pf(m)，由（1）得pf(m)1,2，

令tg(x)，因为g(x)log2x在,1上严格减，在1,4上严格增，

8 且g3,g(1)0,g(4)2，

若t(0,2]，由（2）得方程tg(x)有两个不等实根，且乘积为1， 若t(2,3]{0}，方程tg(x)有且只有一个根，且在,内或者为1， 令h(t)4t24at3a1，由二次函数和g(x)log2x的图像特征， 原命题等价于：对任意p[1,2]，关于t的方程h(t)p在区间[0,3]上总有两

个不等实根t1,t2t1t2，且t1g(x)有两个不等根，t2g(x)只有一个根， 则必有0t12t23，

1181184h(0)3a121411a， 结合二次函数h(t)的图像，必有h(2)155a1，解得53h(3)359a2所以实数a的取值范围是

1411a. 53