高中数学集合的基本概念和运算

集合的基本概念和运算

知识框架

高考要求

内容 集合的含义 集合的表示 基本要求 会使用符号“”或“”表示元素与集合之间的关系； 能选择自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题； 理解集合的特征性质，会用集合的特征性质描述一些集合，如常用数集，方程或不等式的解集等 理解集合之间包含与相等的含义，及子集的概念．在具体情景中，了解空集和全集的含义； 集合间的基本关系 理解两个集合的交集和并集的含义，会求两个简单集合的交集与并集．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集 集合的基本运算

掌握有关的术语和符号，会用它们表达集合之间的关系和运算．能使用维恩图表达集合之间的关系和运算． 例题精讲

（一）知识内容

举例：⑴ 120的所有合数 ⑵ 北京在户人口

⑶ 学而思学员 ⑷ 所有的正方形

这些小例中有哪些共同特征？ 1．集合的相关定义

⑴ 集合的含义：一般地把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对

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象的全体构成的集合（或集）．构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）． ⑵ 元素用小写字母a,b,c,表示；集合用大写字母A,B,C,表示．

⑶ 不含任何元素的集合叫做空集，记作． 2．元素与集合间关系：属于；不属于． 3．集合表示法

⑴ 列举法：把集合的所有元素都列举出来或列出几个元素作为代表，其它元素用省略号表示，并写在大括号“{ }”内的表示集合的方法． 例如：{1,2,3,4,5}，{1,2,3,4,5,}

⑵描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法，形如{x|描述特点} 例如：大于3的所有整数表示为：{xZ|x3}

方程x22x50的所有实数根表示为：{xR|x22x50}

（二）典例分析：

板块一：集合的概念与表示

【例1】用“”或“”填空：

⑴ 若A{x|x23x40}，则1___A；4___A； ⑵ 0___；

⑶ 0___{0}．

【例2】用符号“”或“”填空

⑴0______N， 5______N，16______N

1⑵______Q,π_______Q,e______RQ（e是个无理数）

2⑶2323________x|xa6b,aQ,bQ

【例3】用列举法表示下列集合

⑴ 方程2x2x60的根；

⑵ 不大于8且大于3的所有整数；

1⑶ 函数y3x2与y的交点组成的集合．

x

【例4】已知集合AxN|8N，试用列举法表示集合A． 6x



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【例5】下列命题正确的有（ ）

⑴很小的实数可以构成集合；

⑵集合y|yx21与集合x,y|yx21是同一个集合； ⑶1,,,,0.5这些数组成的集合有5个元素；

⑷集合x,y|xy≤0,x,yR是指第二和第四象限内的点集． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

【例6】用列举法表示集合：Mm10Z,mZ m1362412【例7】直角坐标平面除去两点A(1,1)、B(2,2)可用集合表示为（ ）

A．(x,y)|x1,y1,x2,y2 B．(x,y)|x1x2或 y1y2C．(x,y)|x1x22222且 D．(x,y)|[(x1)(y1)][(x2)(y2)]0 y1y2【例8】下面有四个命题：

⑴集合N中最小的数是1；

⑵若a不属于N，则a属于N；

⑶若aN,bN,则ab的最小值为2；

⑷x212x的解可表示为1,1； 其中正确命题的个数为（ ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

【例9】方程组xy122xy9的解集是（ ）

A．5,4 B．5,4 C．5,4 D．5,4．

【例10】已知f(x)x2axb(aR,bR)，A{x|xf(x),xR}，

B{x|xf[f(x)],xR}．当A{1,3}时，用列举法表示集合B．

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板块二：集合间的基本关系

（一） 知识内容

1．子集：

对于两个集合A,B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A为集合B的子集，记作AB（或BA），读作 “A包含于B”（或“B包含A”）． 规定：是任意集合的子集． 2．真子集：

如果集合AB，但存在元素xB，但xA，我们称集合A是集合B的真子集， 记作AB（或BA）．是任意非空集合的真子集．

3．相等：

如果集合A是集合B的子集（AB），且集合B是集合A的子集（BA），此时，集合A与集合中的元素是一样的，我们说集合A与集合B相等，记作A=B．

（二）典例分析

【例11】用适当的符号填空

⑴ {1}___{x|x23x20} ⑵ {1,2}___{x|x23x20}

⑶ {x|x2k,kN}___{x|x6,N} ⑷ ___{xR|x220}

【例12】用适当的符号填空：

⑴ ___{0}

⑵ 2___{(1,2)}

⑶ 0___{x|x22x50} ⑷ {3,5}____{x|x28x150} ⑸ {3,5}___N

⑹ {x|x2n1,nZ}___{x|x4k1,kZ} ⑺ {(2,3)}___{(3,2)}

【例13】若集合X{x|x1}，下列关系式中成立的为（ ）

A．0X B．0X C．X D．0X

【例14】用适当的符号填空

⑴3______x|x≤2,1,2____x,y|yx1 ⑵25_______x|x23， ⑶x|1x,xR_______x|x3x0 x【例15】下列说法中，正确的是（ ）

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A．任何一个集合必有两个子集；

B．若AB,则A,B中至少有一个为 C．任何集合必有一个真子集；

D．若S为全集，且ABS,则ABS

【例16】已知集合A{a,ad,a2d},B{a,aq,aq2}，其中a0，且AB，则q等于___． 【例17】求集合{a,b}的子集的个数，真子集的个数，非空真子集的个数，并推导出

{1,2,3,4,5,,100}的子集和真子集的个数．

【例18】若全集U0,1,2,3且

A．3个

【例19】{a,b,c}

【例20】若集合Ax|x≤6,xN，B{x|x是非质数}，CAB，则C的非空子集的个数

为 ．

【例21】求满足条件{1,2}A{1,2,3,4,5}的集合A的个数

【例22】设A{x|1x3},B{x|xa}，若AB，则a的取值范围是______

UA2，则集合A的真子集共有

．

B．5个 C．7个 D．8个

A{a,b,c,d,e,f}，求满足条件的A的个数．

【例23】已知A{x2x5}，B{xm1x2m1}，BA，求m的取值范围．

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【例24】求集合M{1,2,3,

． ,100}的所有子集的元素之和的和（规定空集的元素和为零）

帮助学生分析此题时，可按以下步骤：

① 集合M的所有子集的情况 ② 所有子集的元素之和 ③ 元素之和的和 ④ 空集的元素和为零 此题可适当拓展：如果M{1,2,3,，则M的子集共有2n个．所有子集的元,n}（nN+）

1n(n1)n素和之和为2n(12...n)，可由此让学22n2n(n1)（可作为公式熟记）222生注意到补集的情形．

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板块三：集合的基本运算

（一）知识内容

1．相关概念：

⑴ 并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集， 记作AB（读作“A并B”），即AB{x|xA,或xB}．

⑵ 交集：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集， 记作AB （读作“A交B”），即AB{x|xA,且xB}．

⑶ 全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U．

补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作

UA，即

UA{x|xU,且xA}．

（二）典例分析

【例25】已知全集U{1,2,3,,10}，A{1,2,3,4,5}，B{4,5,6,7,8}，C{3,5,7,9}

U求：AB，AB，A(UB)，

AB，A(BC)

【例26】若集合M(x,y)xy0,N(x,y)x2y20,xR,yR，则有（ ）

A．MNM B．MNN C．MNM D．MN

【例27】已知全集I{(x,y)|xR,yR}，P{(1,1)}，表示IP．

【例28】已知集合Aa2,a1,3,Ba3,2a1,a21，若AB3，求实数a的值．

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【例29】设集合A{x|(x3)(xa)0,aR}，B{x|(x4)(x1)0}，求AB,AB．

【例30】若集合A{1,1}，B{x|mx1}，且ABA，则m的值为（ ）

A．1 B．1 C．1或1 D．1或1或0

【例31】下列表述中错误的是（ ）

A．若AB，则ABA B．若ABB，则AB

C．(AB)A(AB) D．

UABUAUB

【例32】若A1,4,x,B1,x2且ABB，则x ． 【例33】若U为全集，下面三个命题中真命题的个数是（ ）

⑴若AB，则UA⑵若AUBU，则AUUBU B

⑶若AB，则AB

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

【例34】设集合A{x|x2x0},B{x|x2x0}，则集合AB（ ）

A．0 B．0 C． D．1,0,1

【例35】已知全集是R，A{x|3≤x7},B{x|2x10}，求

【例36】设全集UR，Mm|方程mx2x10有实数根，Nn|方程x2xn0有实数根，求

R(AB)，(RA)B



UMN．

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【例37】已知My|yx24x3,xR，Ny|yx22x8,xR，

则MN__________．

【例38】若Ix|x≥1,xZ，则IN= ．

【例39】设集合A1,2,B1,2,3,C2,3,4，则（AB）C

【例40】已知A{y|yx24x3,xR}，B{y|yx22x2,xR}，则AB等于（ ）

A． B．{1,3} C．R D．[1,3]

【例41】若集合M(x,y)xy0,N(x,y)x2y20,xR,yR，则有 A．MNM B．MNN C．MNM D．MN

．

【例42】集合Ax|x2axa2190，Bx|x25x60，Cx|x22x80

满足AB，AC，求实数a的值．

【例43】已知I{(x,y)|x,yR}，A(x,y)|y31，B(x,y)|yx1，则I(Ax212（ ） B)等于

A． B．{(2,3)} C．(2,3) D．{2,3}

【例44】设A{x|2x2axb0}，B{x|6x2(a2)x5b0}，若AB，求AB．

【例45】设UR，集合Ax|x23x20，Bx|x2(m1)xm0；

若(UA)

【例46】设全集U(x,y)x,yR，集合M(x,y)y21，N(x,y)yx4， x2B，求m的值．

那么(UM)(UN)等于________________．

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【例47】设全集I{x|x≤20且x为质数}．若A求集合A,B．

结合集合的运算性质：

⑴ 交换律：ABBA,ABBIB{3,5},IAB{7,19}，且IAIB{2,17}，

A；

⑵ 结合律：A(BC)(AB)C；A(BC)(AB)C；

⑶ 分配律：A(BC)(AB)(AC)；A(BC)(AB)(AC)； ⑷ 吸收律：A(AB)A;A(AB)A； ⑸ 对偶律：I(AB)IAIB;I(AB)IAI摩根定律）． B（德·

【例48】若Aa,b,Bx|xA,MA，求BM．

【例49】已知全集I中有15个元素，集合MMIN中有3个元素，IMIN中有5个元素，

N中有4个元素．则集合N中元素的个数（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6

I4M53N15

【例50】50名同学参加跳远和铅球测验，跳远和铅球测验成绩分别为及格40人和31人，2项测验成

绩均不及格的有4人，2项测验成绩都及格的人数是（ ） A．35 B．25 C．28 D．15

【例51】某班有学生55人，其中体育爱好者43人，音乐爱好者34人，还有4人既不爱好体育也不爱

好音乐，则该班既爱好体育又爱好音乐的人数为 人．

【例52】已知A{x|x28m20n,m,nZ}，B{x|x12m18n,m,nZ}，则AB中最小的正整

数是 _________．

【例53】设IR，集合A{x|x24ax4a30}，B{x|x2(a1)xa20}，

C{x|x22ax2a0}．若A,B,C中至少有一个不是空集，求实数a的取值范围．

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【例54】若集合M{x|x2x20}，T{x|mx10}，且MT．求实数m的取值范围．

<教师备案>1．对于集合需要注意：

①集合本身是一个不加定义的概念；空集虽空，但空有所为； ②元素的三个特性：

确定性：集合中的元素是确定的，不能模棱两可

互异性：集合中的元素是互不相同的，相同的元素在集合中只能算作一个 无序性：集合中的元素是无次序关系的． 数学中一些常用的数集及其记法：

全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N；

所有正整数组成的集合称为正整数集，记作N*或N+； 全体整数组成的集合称为整数集，记作Z；

全体有理数组成的集合称为有理数集，记作Q；

全体实数组成的集合称为实数集，记作R． 2.拓展讲解：

⑴由于(AB)(CI(AB))I，记集合A的元素个数为Card(A)，则

Card(AB)Card(A)Card(B)Card(AB) Card(AB)Card(I)Card(I(AB))

如果推广到三个有限集A,B,C，则有

Card(ABC)Card(A)Card(B)Card(C)Card(AB)Card(BC)Card(CCard(ABC)

A)

⑵ 利用以上的结论还可解决与自然数相关的计数问题，比如：

从1到100的所有自然数中，能被2整除但不能被5整除的自然数有多少个？ 记A{1~100中能被2整除的自然数}，B{1~100中能被5整除的自然数}，则 AB{1~100中能被5整除且又能被2整除的自然数}，

AIIB={1~100中只能被2整除不能被5整除的自然数}， B={1~100中不能被2整除但能被5整除的自然数}．

A经计算发现：Card(A)50，Card(B)20，Card(AB)10； ∴Card(AB)50201060． 因此Card(A

IB)Card(A)Card(AB)501040．

即1到100的所有自然数中，能被2整除但不能被5整除的自然数有40个．

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