第39卷 第2期 高 师 理 科 学 刊 Vol. 39 No.2 2019年 2月 Journal of Science of Teachers′College and University Feb. 2019
文章编号：1007-9831（2019）02-0030-03
一阶线性微分方程的解法研究
章慧芬
（揭阳职业技术学院 师范教育系，广东 揭阳 522000）
摘要：给出了一阶线性微分方程常数变易法的注释，根据特殊的变量代换法——常数变易法，得到方程的一般变量代换法，并从微分的角度给出其积分因子的解法． 关键词：微分方程；线性；常数变易法
中图分类号：O171 文献标识码：A doi：10.3969/j.issn.1007-9831.2019.02.007
Research on the solutions mothed of first-order linear differential equation
ZHANG Hui-fen
（Department of Teacher Education，Jieyang Polytechnic，Jieyang 522000，China）
Abstract：Gives an explanation of the first-order linear differential equation on constant variation method．The general variable substitution is obtained from method of constant variation，which is a special variable substitution．The integral factor is obtained from the differential angle．
Key words：differential equation；linear；constant variation
1 引言及预备知识
形如
dy
=P(x)y+Q(x) （1） dx
的方程称为一阶线性微分方程，其中：P(x)，Q(x)是某区间的连续函数．若在方程（1）中Q(x)=0，则方
程（1）变为
dy
=P(x)y （2） dx
称式（2）为一阶齐次线性微分方程．若Q(x)¹0，则称方程（1）为一阶非齐次线性微分方程．
在文献[1-2]中对方程（1）的求解方法是常数变易法，即先用变量分离方程的解法对方程（2）进行求解，得到y=ceò
P(x)dx
．通过比较方程（1）与方程（2）的特点，假设y=c(x)eò
P(x)dx
是方程（1）的解，其
-P(x)dx-P(x)dx
中：c(x)为待定函数，将其代入方程（1），计算得到c¢(x)=Q(x)eò，解得c(x)=òQ(x)eòdx+c．因
此方程（1）的通解为y=eò
P(x)dx
-òP(x)dxæö
dx+c÷，其中：c是任意常数． çòQ(x)e
èø
P(x)dx
对于大多数读者来说，往往无法理解为什么要假设y=c(x)eò是一阶线性微分方程的解，文献[1-5]
[7-9]
中并没有说明，为此，借助文献[6]给出注释，以方便读者理解．但对于方程（1）的解法众多，仍有研 收稿日期：2018-10-26
作者简介：章慧芬（1982-），女，江西南昌人，讲师，硕士，从事微分方程及其应用研究．E-mail：605394651@qq.com
第2期 章慧芬：一阶线性微分方程的解法研究 31
究的空间．本文由特殊的变量代换法——常数变易法，通过猜想得到了其一般的变量代替法求解方法，从
[10]
函数积的微分形式出发，得到方程（1）的积分因子的解法．
dyQ(x)
注释 对于方程（1），当y¹0时，将其进行变形得到=P(x)dx+dx，两边同时积分得
yy
P(x)dxòQ(x)
ln(y)=òP(x)dx+òdx，变形得y=±eòe
y
方程（1）的常数变易法中的假设解．
Q(x)
dxy
．令c(x)=±e
ò
Q(x)dxy
，即得y=c(x)eò
P(x)dx
，这就是
2 一阶线性微分方程的解法
2.1 变量代换法
常数变易法是假设方程（1）的解是y=c(x)eò，即解是２个x函数的相乘．由此更一般地，若假设y=j(x)y(x)是方程（1）的解，则有
y¢=j¢(x)y(x)+j(x)y¢(x) （3）
P(x)dx
将式（3）代入方程（1），得到j¢(x)y(x)+j(x)y¢(x)=P(x)j(x)y(x)+Q(x)，合并相同项得
j¢(x)y(x)+j(x)(y¢(x)-P(x)y(x))=Q(x) （4）
令y¢(x)-P(x)y(x)=0，则由变量分离微分方程的求解方法可得到一个特解为y1(x)=eò解代人式（4），则有
j¢(x)eò
式（5）是可变量分离方程，从而有
P(x)dx
P(x)dx
，将此特
=Q(x) （5）
-P(x)dx-P(x)dxdj=eòQ(x) ，求出其通解为j(x)=òQ(x)eòdx+c，因此，dxP(x)dxæ-òP(x)dxö
方程（1）的通解为y=j(x)y1(x)=eòQ(x)edx+c÷，其中：c是任意常数． çòèø2.2 积分因子法 对于方程（1），由其形式特点，可改写为
y¢-P(x)y=Q(x) （6）
式（6）的左边是y¢和y的一次二项式，而
(ym)¢=y¢m+ym¢ （7）
恰好是y¢和y的一次二项式，因此在式（6）两边同时乘以一个适当的非零函数m=m(x)，则有
y¢m-P(x)my=Q(x)m （8） 要把式（8）的左边写成某个x函数的导数，比较式（7）和式（8），即有
m¢=-P(x)m （9）
从而式（8）可写为(ym)¢=Q(x)m，进而有
ym=òQ(x)mdx+c
（10）
式（9）是可变量分离方程，当m¹0时，可变量分离得
-P(x)dxm¢
=-P(x)，得到一个解为m(x)=eò（积分因mòP(x)dxæ-òP(x)dxö
dx+c÷，其中：c是任意常数．子），将此解代入式（10），可得到方程（1）的通解为y=e çòQ(x)e
èø
常微分方程因其在很多学科领域内有广泛的应用性而受到科学技术领域的普遍关注，线性微分方程作为常微分方程的基础内容之一，具有完整的系统理论和丰富的实际背景．本文从一阶线性微分方程的结构特点入手，结合教学经验，给出了常数变易法的一个注释，并给出了2种不同于已有文献求通解的解法,即变量代换法和积分因子法．
（下转第35页）
第2期 王晓莉，等：基于因子分析的城市共享单车发展模式研究——以蚌埠市为例 35
恶意涂改二维码等不良行为，这些问题使得企业在除去折旧费用外，还需承担高额的维护费用，这在无形之中加大了企业的成本．针对单车投放过剩问题，共享单车企业应在进行合理评估之后再进行单车投放，避免投放过量，超出城市容纳度．其次，针对乱停乱放问题，企业应安排专职员工将乱停乱放的单车及时归位，也应加大对居民的道德约束，加大宣传力度，使居民养成良好的停车习惯．针对单车毁坏等问题，应加大监控和安防的力度，加大对违法行为的惩处力度，从而形成一个良好的单车共享环境． 3.2 推动共享单车市场持续健康发展的建议
目前在共享单车推行使用过程中，公众意识还比较薄弱，应加大宣传力度，通过在各大媒体播报以及在公共场所宣传栏张贴宣传图册等方式，增强公民对共享单车维护的意识，减少对单车的肆意破坏．
[12]
强化有关部门和社会公众对共享单车使用的监督，加大对公民的道德约束，同时制定一定的奖惩措施，如将违规用户拉入诚信黑名单等，从而推进共享单车的健康发展．
企业应合理筹划共享单车的投放密度，规范停车区域，在维护良好城市交通秩序的同时降低资源的浪费．此外，共享单车行业还面临竞争激烈而收费较少的问题，各个品牌为了占领市场大打价格战，所获利润较薄．共享单车企业应积极探索盈利新模式，在提高客户粘性的同时实现企业的持续经营． 参考文献：
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（上接第31页） 参考文献：
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