胡运权排队论习题解

某修理店只有一个修理工人, 来修理的顾客到达次数服从普阿松分布,平均每小时3人,修理时间服从负指数分布,平均需10分钟, 求

(1) 修理店空闲时间概率; (2) 店内有4个顾客的概率; (3) 店内至少有一个顾客的概率; (4) 在店内顾客平均数; (5) 等待服务的顾客平均数; (6) 在店内平均逗留时间; (7) 平均等待修理(服务)时间;

(8) 必须在店内消耗15分钟以上的概率.

解：该系统为（M/M/1//）模型，3，31；62111(2)p4(1)4(1)()4；223211(3)1p01；223(4)Ls1(人)；631312(5)Lq(人)；632111(6)Ws(小时)；63311(7)Wq2(小时)；636(1)p011(8)1-F()e-(-)606.10

e-(6-3)1560e.-152011答：(1)修理店空闲时间概率为；(2)店内有三个顾客的概率为；(3)店内至少23211有一个顾客的概率为；(4)店内顾客平均数为1人；(5)等待服务顾客平均数为人；22 11(6)在店内平均逗留时间分钟；(7)平均等待修理时间为分钟；(8)必须在店内36消耗15分钟以上的概率为e-1520.379

10.2设有一单人打字室，顾客的到达为普阿松流，平均到达时间间隔为20分钟，打字时间服从指数分布，平均时间为15分钟，求(1)顾客来打字不必等待的概率；(2)打字室内顾客的平均数；(3)顾客在打字室内平均逗留时间；(4)若顾客在打字室内的平均逗留时间超过1.25小时，则主人将考虑增加设备及打字员，问顾客的平均到达概率为多少时，主人才会考虑这样做？解：该题属M/M/1模型.60603(人/小时)，4(人/小时).201531(1)p011；443(2)Ls3(人)；4311(3)Ws1(小时)；431(4)Ws1.25；11.25，3.2，3.230.2(人/小时).4

1答：(1)顾客来打字不必等待的概率为；(2)打字室内顾客平均数为3人；(3)顾客在4打字室内平均逗留时间为1小时；(4)平均到达率为0.2人/小时时，店主才会考 虑增加设备及打字员. 汽车按平均90辆/h的poission流到达高速公路上的一个收费关卡，通过关卡的平均时间为38s。由于驾驶人员反映等待时间太长，主管部门打算采用新装置，使汽车通过关卡的平均时间减少到平均30s。但增加新装置只有在原系统中等待的汽车平均数超过5辆和新系统中关卡空闲时间不超过10％时才是合算的。根据这一要求，分析新装置是否合算。

解：该系统属于M/M/1模型

旧装置各参数计算：

90/h3600 94.738900.9594.7380

0.951910.05LqL190.9518.05 P010.05L

采用新装置各参数计算：

'90/h'36001203090'0.75120 0.75L'3110.75Lq'L30.752.25P0'10.25

分析：因为采用新装置后要求原系统中等待的汽车平均数超过5辆为合算，经计算原系统的Lq＝>5满足这个条件。但是还有一个条件是采用新装置后要求新系统中关卡空闲时间不超过10％，而经计算P0'0.25即新系统的空闲率为25％超出了要求，所以采用新装置是不合算的。

某车间的工具仓库只有一个管理员，平均有4人/h来令工具，到达过程为Poisson流；领工具的时间服从负指数分布，平均为6min。由于场地，仓库内领工具的人最多不能超过3人，求：

（1）仓库内没有人领工具的概率； （2）仓库内领工具的工人的平均数； （3）排队等待领工具的工人的平均数； （4）工人在系统中的平均花费时间； （5）工人平均排队时间。

解：该系统属于M/M/1/3模型

460 10642105381

2150.6 （1）p0=4121()4512p33p0()30.60.038

5224()444550.5（人） (2)L4221111()455(3)LqL(1p0)0.5(10.6)0.1（人） (4)e(1p3)4(10.038)3.848

WLe0.50.13（小时） 3.848(5)WqW10.1310.03（小时） 10答：（1）仓库内没有人领工具的概率为；（2）仓库内领工具的工人的平均数为人； （3）排队等待工具的工人的平均数为人；（4）工人在系统中的平均花费时间为小时；（5）工人平均排队时间为小时。

某车间的工具仓库只有一个管理员，平均有4人/h来令工具，到达过程为Poisson流；领工具的时间服从负指数分布，平均为6min。由于场地，仓库内领工具的人最多不能超过3人，求：

（1）仓库内没有人领工具的概率； （2）仓库内领工具的工人的平均数； （3）排队等待领工具的工人的平均数； （4）工人在系统中的平均花费时间； （5）工人平均排队时间。

解：该系统属于M/M/1/3模型

460 10642105（1）o=1123 55382

225（人） (2)L1335224(3)LqL（人）

35152L1(4)W3（小时）

46Lq411(5)W（小时）

1541532；（2）仓库内领工具的工人的平均数为人； 5341（3）排队等待工具的工人的平均数为人；（4）工人在系统中的平均花费时间为小

156答：（1）仓库内没有人领工具的概率为时；

（5）工人平均排队时间为

10．6 在第题中，若顾客平均到达率增加到每小时6人，仍为普阿松流，服务时间不变，

这时增加了一个工人。

（1） 根据/的值说明增加工人的原因；

（2） 增加工人后求店内空闲概率，店内有2人或更多顾客（即工人繁忙）的概率。

（3） 求Ls,Lq,Wq,Ws.

1小时。 156人小时，解 （1）6人/小时，因为c＝1，，意味着系统的流入量等

于流出量，系统没有空闲时间。所以要增加工人。

（2）增加1个工人后，此系统变成M/M/2排队系统

c660.51,1,c2661p01p0p1.ncccn2c1n

pn2c11k11p0k0k!c!1c11111,20.53111101210.5

383

111p1p01,

133故 pn21p0p1121111. 3331111（3）pcp2p01,

2236Lqc0.510.511p c2221c10.560.56314LsLq1,

33WsLsLq4/32小时， 69Wq＝1/31＝＝小时。 618 有一M/M1/5/模型，平均服务率＝已＝15（分钟）10，就两种到达率：＝6；计算出相应的概率pn如表10－9所示，试就这两种情况计算：

表10－9

系统中顾客数n 0 1 2 3 4 5 6pn 15pn （1）有效到达率和服务台的服务强度； （2）系统中顾客的平均数； （3）系统的满足率；

（4）服务台应从那些方面改进工作理由是什么

384

解当＝6，＝10时,有pnp50.04,0.6(1).有达到效率e(1p5)6(10.04)5.76服务台的服务强度C6(1pN)(10.04)10e;0.60.960.576(2)系统中平均顾客数LsLqLqp0c1(c1)!(c)NcNc[1(Nc)(1)]ccc20.600.42[10.651(51)(10.6)0.651]0!(10.6)0.6962

LsLqe4.80.69621.1762,10

(3)系统的满意率为p50.04.(4)服务台降低服务强度，原因是因为系统中没有顾客的概率比重较大.当＝15，＝10时，＝1.5.(1)有效到达率e(1pN)15(10.37)9.45,服务台的服务强度为15(1pN)(10.37)0.945;10(2)系统中平均顾客数LsLqe,CLqp0c1(c1)!(cp)2[1cNc(Nc)(1c)cNc]1.5251510.05[11.5(51)(11.5)1.5]2(11.5)1.6369;LsLqe9.451.63692.5819.101，会使排队队长增大而等待空间有 (3)系统的满足率p50.37.(4)服务台应提高服务率的原因是限，而致使有些顾客得不到服务而自动离开.10-7

有M/M/1/5系统，平均服务率µ=10，就两种到达率λ=6，λ=15，已得到相应得概率pn,

385

如表所示，就两种到达率分析：

（1） 有效到达率和系统的服务强度 （2） 系统中顾客的平均数 （3） 系统的满员率 （4） 服务台应从哪些方面改进，理由是什么

系统中顾客数 0 1 2 3 4 5 λ=6 λ=15

当λ=6时，µ=10， ρ=λ/µ=6/10= ，K=5

p0=

顾客的损失率为p5=

有效到达率为λe=λ（1-p5）=6*= 系统的服务强度为ρ=

系统中的队长即顾客的平均数为L=(ρ/1-ρ)-(K+1)ρ率为p5=

当λ=15时，µ=10， ρ=λ/µ=15/10= ，K=5

k1/1-ρ

k1=*66=系统的满员

p0=

顾客的损失率为p5=

有效到达率为λe=λ（1-p5）=6*= 系统服务强度为ρ=

系统中的队长即顾客的平均数为 L=(ρ/1-ρ)-(K+1)ρ

k1/1-ρ

k1=

在到达率为15人的情况下，一个服务台是不够的，需要增加服务台数。

10.8在第10.1题中，如服务时间服从正态分布，数学期望仍然为6分钟， 1方差2，求店内顾客数的期望值。8386

解＝4人/小时，E(T)（小时），＝211041，Var[T]108

答141622Var[T]410811Ls＝.42(1)102（1）51011店内顾客数的期望值为。5

某人核对申请书时，必须依次检查8张表格，每张表格的核对时间平均需要1min，申请书的到达率为6份/h，相继到达时间间隔为负指数分布；核对每张表格的时间服从负指数分布。求：

1) 办事员空闲的概率； 2) L，Lq，W，Wq．

解：因为核对申请书中的每一张表格的时间服从k60的负指数分布，则依次检查8张表格，即一份申请书的时间服从爱尔朗分布，所以本题可以看成是一个M/Ek/1/∞/∞模型

且6，E(Ek)=1/μ=2/15,D(Ek)=1/(kμ)=1/45,20.8 1) 办事员空闲的概率为P010.2 2)222（36/45）0.Lq3.6 （21-）20.2LLq3.60.84.4 WqLq3.60.6 610.62/150.73 WWq

 存货被使用的时间服从参数为μ的负指数分布，再补充之间的时间间隔服从参数为λ的负指数分布。如果库存不足时每单位时间每件存货的损失费用为C2, n件存货在库时的单位时间存储费为C1n，这里C2>C1。

（1）求出每单位时间平均总费用C的表达式; （2）的最优值是什么 387

解（）此过程可以看成是1M/M/1//.此时泊松分布的均值为 .负指数分布的均值为,.11P01L

1

故CE(C1n)C2p0C11C2(1)

（2）CC1'1C2

(1)2令C'0，求得

*1C1C2(1C不合题意) C2C''2C1|0 3*(1)和*1

C1C1 为唯一驻点，知道*1是使C最小的最优值。C2C210．11 一个大型露天矿山，考虑修建一个或两个矿山卸位比较经济合理。已知云砂石的车按流到达，平均15辆/h，卸矿石时间服从负指数分布，平均每一辆，又知每辆运矿石卡车的售价为8万元，修建一个卸位的投资是14万元。

60解：已知c1=8 c2=14 1520

3当修建一个矿山卸位：

153204134134L

3(辆）费用：F=c2×1+ c1·L=14+8×3=38（万）

当修建两个矿山卸位：

388

33 S= 42833132()0（）（）114p0=[44]1

30！1！25！（1）811323（）548297(辆) Lq =

325002！（1）82973662331L=Lq+=(辆) 5004500250331费用：F=c2×2+ c1·L=14+8×=（万）

250因此修建两个矿山缺位更加经济合适。

某电话总机有三条（s=3）中继线，平均呼叫为 次/min, 如果每次通话平均时间为,试求该系 统平稳状态时的概率分布、通过能力、损失率和占用通

道的平均数。 解：s=3 ==4 =

512= 1.53=

=43=6

525s=

s=16=21

355则该系统平稳状态时的概率分布为：

2227P0=C30()0(1)3=

55125 P1=C31(2)1(12)2=54

55125 P2=C32(2)2(12)136

55125 P3=C33(2)3(12)0=8

55125

系统的绝对通过能力为：

3

A=（1-s）=4（1-2）=12

5525 系统的相对通过能力为： Q=1-s=1-2=3

55 损失率为P3=8

125 占用通道的平均数为：

s=nPn=0n0s27+154+236+38 125125125125 =150=

125

一名修理工负责5台机器维修，每台平均2小时损坏一次，又修理工修复一台机器平

均用时，以上时间服从负指数分布。问：

（1）所有机器正常运转概率； （2）等待维修机器的期望；

（3）加入希望做到一半时间所有机器都在正常运转，则该修理工最多看管多少台。

解：此问题为M/M/1/5模型，其中λ=1/2=,μ=60/=

（1）（2）L = m - =L-（1- =

= m - (λ+μ)(1-

=

=(1+++++=

（3）设看管台数为n,则W =

n=3时：= ，= n=4时：=，= n=5时：=，= ∵ = <

∴该修理工最多看管5台机器

390

10．14 上题中假设维修工工资为8元/小时，机器不能正常运转时的损失为40元/小时，则该维修工看管多少台机器较为经济合理

解：本题为顾客源有限（设为m）的M/M/1模型, 其中0.5，0.31。CMIN(840Ls)MIN(840(m(1p0)))*m!nCMIN(840(m(1())))i0(mi)!*m1mm!iCMIN(840(m0.62(1(1.61))))i0(mi)!经过求解当看管台数为3台时最经济合理*1

答：当看管台数为3台时较为经济合理。

391