1. 我们把形如y＝f(x)φ(x)的函数称为幂指函数，幂指函数在求导时，可以利用对数法：在函数解析式两边求对数得ln y＝φ(x)lnf(x)，两边求导得f(x)φ(x)[φ′(x)·ln f(x)＋φ(x)·【答案】(0，e)
【解析】由题意知y′＝x (－＝x·(1－ln x)，x>0，
ln x＋·)
＝φ′(x)·ln f(x)＋φ(x)·
，于是y′＝
]．运用此方法可以探求得y＝x的单调递增区间是________．
>0，x>0，
令y′>0，则1－ln x>0，所以0 (2)当a>0时，求函数f(x)在区间[－2,0]上的最小值． 【答案】（1）见解析 （2）当a>1时，f(x)在区间[－2,0]上的最小值为－a·当0 则f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)； ②当a>0时，由f′(x)>0，解得x>－由f′(x)<0，解得x<－ ， ，＋∞)， )； ， ， . ； 则f(x)的单调递增区间为(－f(x)的单调递减区间为(－∞，－ ③当a<0时，由f′(x)>0，解得x<－由f′(x)<0解得，x>－ ， 则f(x)的单调递增区间为(－∞，－f(x)的单调递减区间为(－(2)①当在(－ 时， )， ，＋∞)． )上是减函数， ，0)上是增函数， )＝－a· ； 则函数f(x)在区间[－2,0]上的最小值为f(－②当值为f(－2)＝ 时，即当0 综上，当a>1时，f(x)在区间[－2,0]上的最小值为－a· 当0 【解析】f′(1)＝0可得m＝1或m＝3. 当m＝3时，f′(x)＝3(x－1)(x－3)， 1 (1)求的值； (2)若对于任意的(3)求证： ，曲线 ， 在点 处的切线与直线恒成立，求的范围； 垂直. 【解析】（1）求得函数f（x）的导函数，利用曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线2x+y+1=0垂直，即可求a的值； （2）先将原来的恒成立问题转化为lnx≤m(x−)，设g(x)＝lnx−m(x−)，即∀x∈（1，+∞），g（x）≤0．利用导数研究g（x）在（0，+∞）上单调性，求出函数的最大值，即可求得实数m的取值范围． （3）由（2）知，当x＞1时，m＝时，lnx＜ (x−)成立．不妨令x＝ [ln(2k+1)−ln(2k−1)]＜(1)由题设，(2)设 6分 ①若②若方程当 ，即 ，时，，∴ . 4分 , ，即 ， ，即. ，这与题设 的判别式. 在 矛盾. 7分 上单调递减， ，k∈N*，得出 ，k∈N*，再分别令k=1，2，，n．得到n个不等式，最后累加可得． 2分 ，即不等式成立. 8分 当 时，方程 当 综上所述，(3) 由(2)知,当不妨令所以 , 单调递增， ，与题设矛盾. ，设两根为 ， . 10分 时, ， 时, 成立. 11分 12分 累加可得 ∴∴ ---------------14分 【考点】1.利用导数研究曲线上某点切线方程；2.导数在最大值、最小值问题中的应用． 5. 已知函数（1）当（2）当 时，证明：当时，证明： . 时， ； . 【答案】（1）证明过程详见解析；（2）证明过程详见解析. 【解析】本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，将当时， 转化为，对函数求导，利用单调递增，单调递减， 来判断函数的单调性来决定函数最值，并求出最值为0，即得证；第二问，先将 转化为 值，分别证明即可. (1)令，∴当(2) 令即∴令∴∴ ∴由①②得 时，在 ， ， 时，时， ， ，∴ ， 在 上为增函数 3分 且 ，利用导数分别判断函数的单调性求出函数最 ，得证． 6分 时， ， 时， 上为减函数，在 ① ， ， ② ， 上为增函数 9分 时，即在上为减函数，在上为增函数 ． 12分 【考点】导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值. 6. 已知函数. （1）当a=l时，求的单调区间； （2）若函数在上是减函数，求实数a的取值范围； （3）令，是否存在实数a，当 3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）单调递减区间为 (e是自然对数的底数)时，函数g(x)最小值是 ；（2） ；（3）存在实数 ，单调递增区间为 . 【解析】（1）把 代入函数解析式得，且定义域为，分别解不等式 ，利用导数法可求， ，注意 在， 出函数的单调区间，由函数定义域，从而可求出函数 上是减函数，则其导函数所以函数 ，必有 的单调区间；（2）此问题利用导数法来解决，若函数 在 上恒成立，又因为 ，从而解得实数的取值范围；（3）利用导数求极值的 ，则 上进行分类讨论，可求得当 时，有 ，令 ，解得 ，满 方法来解决此问题，由题意得 ，通过对是否在区间 足条件，从而可求出实数的值. （1）当因为函数所以当所以函数（2）令 ，有时，时， 的定义域为，当 ， 时， . . 4分 . 2分 的单调递减区间为，单调递增区间为在 上恒成立. ， 6分 得，. 8分 有最小值3， （3）假设存在实数，使. 9分 当时，，②当，解得③当， 在 上单调递减， （舍去）； 10分 时，时， 在 在 上单调递减，在上单调递减， 上单调递增. ，满足条件； 12分 （舍去）. 13分 综上，存在实数，使得当时，有最小值3. 14分 【考点】1.导数性质；2.不等式求解；3.分类讨论. 7. 设函数f(x)＝x－2msin x＋(2m－1)sin xcos x(m为实数)在(0，π)上为增函数，则m的取值范围为( ) A．[0，] B．(0，) C．(0，] D．[0，) 【答案】A 【解析】∵f(x)在区间(0，π)上是增函数， ∴f′(x)＝1－2mcos x＋2(m－)cos 2x ＝2[(2m－1)cos2x－mcos x＋1－m] ＝2(cos x－1)[(2m－1)cos x＋(m－1)]＞0 在(0，π)上恒成立，令cos x＝t，则－1＜t＜1， 即不等式(t－1)[(2m－1)t＋(m－1)]＞0在(－1,1)上恒成立， ①若m＞，则t＜则只需 在(－1,1)上恒成立， ≥1，即＜m≤， ②当m＝时，则0·t＋－1＜0， 在(－1,1)上显然成立； ③若m＜，则t＞则只需 在(－1,1)上恒成立， ≤－1，即0≤m＜． 综上所述，所求实数m的取值范围是[0，]． 8. 已知e为自然对数的底数，设函数f（x）=xex，则（ ） A．1是f（x）的极小值点 B．﹣1是f（x）的极小值点 C．1是f（x）的极大值点 D．﹣1是f（x）的极大值点 【答案】B 【解析】f（x）=xex⇒f′（x）=ex（x+1）， 令f′（x）＞0⇒x＞﹣1， ∴函数f（x）的单调递增区间是[﹣1，+∞）； 令f′（x）＜0⇒x＜﹣1， ∴函数f（x）的单调递减区间是（﹣∞，﹣1）， 故﹣1是f（x）的极小值点． 故选：B． 9. 若函数f(x)＝x3－ax2＋(a－1)x＋1在区间(1，4)上是减函数，在区间(6，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________． 【答案】[5，7] 【解析】f′(x)＝x2－ax＋(a－1)，由题意，f′(x)≤0在(1，4)恒成立且f′(x)≥0在(6，＋∞)恒成立，即a≥x＋1在(1，4)上恒成立且a≤x＋1在(6，＋∞)上恒成立，所以5≤a≤7. 10. 已知函数f(x)＝x2－mlnx＋(m－1)x，当m≤0时，试讨论函数f(x)的单调性； 【答案】当－1 和(1，＋∞)，单调递减区间是 ；当m≤－1时， ，单调递减区间是，f′(x)＝x－ ＋(m－1)＝ 【解析】函数的定义域为 . ①当－1 ； ，单调递减区间是 . 11. 若函数f(x)＝x2＋ax＋在【答案】a≥3 【解析】f′(x)＝2x＋a－－2x，求导可得g(x)在 ≥0在 上是增函数，则a的取值范围是________． 上恒成立，即a≥－2x在上恒成立．令g(x)＝ 上的最大值为3，所以a≥3. 12. 函数y=(3-x2)ex的单调递增区间是( ) A．(-∞,0) B．(0,+∞) C．(-∞,-3)和(1,+∞) D．(-3,1) 【答案】D 【解析】y'=-2xex+(3-x2)ex=ex(-x2-2x+3)>0间是(-3,1). x2+2x-3<0 -3 【解析】∵f(x)＝x3－x2＋ax＋4， ∴f′(x)＝x2－3x＋a.又函数f(x)恰在[－1,4]上单调递减，∴－1,4是f′(x)＝0的两根，∴a＝－1×4＝－4. 14. 函数f(x)＝x2－ln x的单调递减区间为 ( )． A．(－1,1] C．[1，＋∞) B．(0,1] D．(0，＋∞) 【答案】B 【解析】由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)，又由f′(x)＝x－≤0，解得0 ， （1）求函数的单调区间； （2）若方程有且只有一个解，求实数m的取值范围； （3）当且，时，若有，求证：【答案】（1）详见解析. 【解析】（1）对 求导可得 ，令递增区间为 的递增区间为 ，递减区间为 和 . ；（2） ；（3） ， ，递减区间为 ； 或 ，由导数与单调性的关系可知，所以（2）若方程 有解 有解，则原问题转化为求f（x）的值域，而m只要在f（x） ， ， ; ， 方程 有且只有一个 的值域内即可，由（1）知根，又 的值域为 （3）由（1）和（2）及当，则有即，即 ， . ，令，解得 ，递减区间为 ， ，又，同理 ，又 时，有 ， ，，即，或和 ， ，不妨设， ，且在上单调递减，， 试题解析：（1）令 ，即 ，解得 的递增区间为（2）由（1）知方程 . 4分 ， 6分 的值域为时，有 ， ，由图象知，不妨设 ， 有且只有一个根，又 8分 （3）由（1）和（2）及当，则有 ， ，又 即， 11分 ，又，，且在上单调递减， ，即. 13分 【考点】1.导数在函数单调性上的应用；2. 导数与函数最值. 16. 某地区注重生态环境建设，每年用于改造生态环境总费用为亿元，其中用于风景区改造为亿元。该市决定建立生态环境改造投资方案，该方案要求同时具备下列三个条件：①每年用于风景区改造费用随每年改造生态环境总费用增加而增加；②每年改造生态环境总费用至少亿元，至多亿元；③每年用于风景区改造费用不得低于每年改造生态环境总费用的15%，但不得高于每年改造生态环境总费用的25%. 若 ， ，请你分析能否采用函数模型y＝ 作为生态环境改造投资方案. 【答案】能采用函数模型作为生态环境改造投资方案. 【解析】本题主要考查利用导数研究简单实际问题，考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性和最值问题，考查函数思想，考查综合分析和解决问题的能力和计算能力.对函数求导，判断导数恒大于0，所以得出函数是增函数满足条件①，构造新函数，通过求导判断函数的单调性，由②可知，所以判断上函数的单调性和最值，最值符合③的要求，所以综上可得可以采用此函数模型. 试题解析：∵∴函数设则 令，得. 当时，，在当时，，在又，即，在∴当时，有最小值为当时，， 当时，， ∴能采用函数模型 ， 是增函数，满足条件①， ， ， 上是减函数， 上是增函数， 上是减函数，在， 上是增函数， 作为生态环境改造投资方案. 【考点】1.利用导数判断函数的单调性；2. 利用导数求函数的最值. 17. 某出版社新出版一本高考复习用书，该书的成本为5元/本，经销过程中每本书需付给代理商m元（1≤m≤3）的劳务费，经出版社研究决定，新书投放市场后定价为元/本（9≤≤11），预计一年的销售量为万本． (1)求该出版社一年的利润（万元）与每本书的定价的函数关系式； (2)当每本书的定价为多少元时，该出版社一年的利润最大,并求出的最大值． 【答案】（1） 出版社一年的利润最大，最大值 ；（2）若 （万元）；若 ，则当每本书定价为 元时， ，则当每本书定价为11 元时，出版社一年的利润最大，最大值（万元）. 【解析】本题是实际问题的考查，考查函数的最值，考查利用导数研究函数的单调性最值.第一问，利用每本书的销售利润销售量列出表示式，在这一问中，要注意注明函数的定义域；第二问，利用导数求函数最值，先求导数，令导数为0，解出方程的根，由于这是实际问题，应考虑根必须在定义域内，讨论根 是否在 内，分2种情况，分别判断单调性求出最值，最后综 合上述2种情况得出结论. 试题解析：（1）该出版社一年的利润（万元）与每本书定价的函数关系式为： ． 5分（定义域不写扣1分） （2）． 6分 令， ①当在 即 即是增函数，在得 或x=20（不合题意，舍去）． 7分．在 时， 两侧 是减函数. ②当 所以 即 时 在 上是增函数，的值由正变负． 答：若，则当每本书定价为（万元）；若 元时，出版社一年的利润最大，最大值 ，则当每本书定价为11元时，出版社一年的利润最大， 最大值（万元） 12分 【考点】1.利用导数判断函数的单调性；2.利用导数求函数的最值. 18. 已知不等式A．(-的解集 ，则函数 C．( -3,1) 单调递增区间为( ) D．( B．(-1,3) 【答案】C 【解析】不等式故 的解集 ，故 ，且 ， ，可得 ，令 ， ，解得，所以函数单调递增区间为. 【考点】利用导数判断单调性，一元二次不等式的解. 19. 若关于x的不等式 的解集为 ，且函数 在区间 上不是单调函数，则实数的取值范围为 （ ） A．B． C．D． 【答案】A 【解析】由不等式 ，所以由函数 有解，当在 有一解时有解得 ，综上可得 的解集为 在 可得的两根为，故可求得 在 上不是单调函数，可知解得 ，故选A ，当在 有两解时有 【考点】1.函数的单调性；2.函数的零点；3.一元二次不等式的解集 20. 已知函数． （I）求函数的单调区间； （Ⅱ）若，试解答下列两小题． （i）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围； （ii）若是两个不相等的正数，且以，求证：． 【答案】（I）①当区间为 时， 递增区间是 ；②当 时， 递增区间是 ，递减 ；（Ⅱ）（i）实数的取值范围为；（ii）详见试题解析． 下面分求函数 【解析】（I）首先求函数的定义域，再求的导数，令 和讨论求函数的单调区间；（Ⅱ）（i）先由已知条件，将问题转化为 设的导数： 先根据已知条件把构造函数得． 试题解析：（I）解：函数①当②当 时，时，由 在 可得，由此讨论可得 在 上为减函数，从而求得实数的取值范围；（ii）在 ，只要证 上单调递减，在 令 递增区间是，∴ ； ，递减区间为 递增区间是 设， 上单调递增，最终证 化简为利用导数可得的定义域为上恒成立，∴ ． （6分） （Ⅱ）（i）解：设∵ 取值范围为（ii）证明：．设令 ，则，得 ， 在 则 ． 实数的 在上恒成立，∴在上为减函数，∴． （10分） ． 上单调递减，在 上单调递增 ． （15分） 【考点】1．导数与函数的单调性；2．利用导数求恒成立问题中的参数取值范围问题参数；3．利用导数证明不等式． 21. 已知是定义域为的奇函数，,的导函数的图象如图所示， 若两正数 满足，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为是定义域为的奇函数，在定义域上单调递增，由得，如图, 看作， 与 ，所以 ，又，由导函数的图象可知根据满足的条件画出可行域 ,故 ， 两点的直线斜率，而 选C. 【考点】函数的奇偶性、利用导数研究函数单调性、线性规划. 22. 已知函数, ⑴求证函数在上的单调递增； ⑵函数有三个零点，求的值； ⑶对恒成立，求a的取值范围。 【答案】 （1）详见解析；（2）；（3）. 【解析】（1）证明函数在某区间单调递增，判断其导函数在此区间上的符号即可；（2）判断函数零点的个数一般可从方程或图象两个角度考察，但当函数较为复杂，难以画出它的图象时，可以将其适当等价转化，变为判断两个函数图象交点个数；（3）恒成立问题则常用分离参数的方法，转化为求函数的最值问题，也可直接考察函数的性质进行解决，本题则可转化为 ，而求则可利用导数去判断函数的单调性，还要注意分类讨论. 试题解析：⑴证明：， 函数在上单调递增. 3分 ⑵解：令，解得 . 7分 ⑶由⑵可知， 又设在， 所以，对于 ，函数在区间 极小值1 有三个实根， 单调递增， 有三个零点， 单调递减，在区间 ， ，则 上单调递增， ，即 ， ， . 12分 【考点】函数的单调性、函数的零点、不等式恒成立问题. 23. 已知函数(I)若 在 . 处取得极值， ，使得不等式 成立，求的最小值； ） 带入到导函数中，联立方程，进入通过求导求出 中分子是二次函数形式按 的极 ①求、的值；②存在(II)当 时，若 在 上是单调函数，求的取值范围.（参考数据，②在 ；（2） 处取得极值，求导将 ，只需 【答案】（1）①【解析】（1）①根据组求出 的值；②存在性恒成立问题， 的未知时，要根据 值，最值.（2）当进行讨论. 试题解析：（1）①因为即 ②由题意：存在由所以所以 在在在 , 定义域为. 处取和极值，故，解得 . ，使得不等式 ，令 上单调递减，处取得极小值， 在 则 , 成立，则只需 ，令在 则 或 ， 上单调递增，上单调递减 而最大值需要比较的大小, ,, 比较 所以所以（2）当 ①当②当③当 . 时，时，时，∵ 时，设 ，只需. 则 在 与4的大小，而 ，所以 上单调递增； ，则，从而得 在 上单调递增； ，此时 在 上单调递减； 综上可得， 【考点】1.利用导数求函数的极值、最值；2.函数恒成立问题；3.利用单调性求参数范围. 24. 已知函数． （Ⅰ）当 时，求证：函数 在 上单调递增； （Ⅱ）若函数 有三个零点，求的值． 【答案】（I）利用导数法求解单调区间即可证明；（II）t=2 【解析】（I）f’(x)=axlna+2x-lna=(ax-1) lna +2x 当a>1时，lna >0 当x∈（0，+∞）时，ax-1>0,2x>0 ∴f’(x)>0，∴f(x)在（0，+∞）↑ （II）当a>1时，x∈（-∞，0）时，ax-1<0,2x<0 f’(x)<0，∴f(x)在（-∞，0）↓ 当0 x ∈（-∞，0）时, ax-1>0, lna <0 f’(x)<0, f(x)在（-∞，0）↓ ∴当a>0且a≠1时，f(x) 在（-∞，0）↓,f(x)在（0，+∞）↑ ∴x=0是f(x)在k上唯一极小值点，也是唯一最小值点. f(x)min=f(0)=1 若y=[f(x)-t]-1有三个零点，即|f(x)-t|=1，f(x)=t±1有三个根，所以t+1>t-1 ∴t-1=\"f\" (x)min= 1，∴t=2 【考点】本题考查了导数的运用 点评：导数本身是个解决问题的工具，是高考必考内容之一，高考往往结合函数甚至是实际问题考查导数的应用，求单调、最值、完成证明等，请注意归纳常规方法和常见注意点． 25. 已知函数 ，设曲线 在与轴交点处的切线为 ， 为 的导函数，满足（1）求（2）设 【答案】（1）（2） 【解析】（1）函数直线即则故(2) 其图像如图所示．当 时， 的图像关于直线与轴的交点为，且 ． ， 的单调区间. ， ． ，求函数 在 上的最大值； ， ． ，且， ． ， ，，解得 对称，则 ，所以f(x)在R上单调递增. ……4分 ， 根据图像得： （ⅰ）当（ⅱ）当（ⅲ）当 时， 时，时， 最大值为 ； 最大值为； 最大值为 ． ……10分 【考点】本小题主要考查导数的应用. 点评：用导数可以解决函数中求最值，单调性，极值等问题，要注意函数的定义域.分类讨论时，要注意分类标准要不重不漏. 26. 本小题满分12分）设M是由满足下列条件的函数f (x)构成的集合：①方程f (x)一x=0有实根；②函数的导数满足0＜＜1. (1)若函数f(x)为集合M中的任意一个元素，证明：方程f(x)一x=0只有一个实根； （2）判断函数 是否是集合M中的元素，并说明理由； ， (3)设函数f(x)为集合M中的任意一个元素，对于定义域中任意证明：【答案】(1)令所以，方程方程增，∴令∴∴ ，即,即，则 ,即，则有 ，则 有且只有一个实数根；(2) ， ，故， 是单调递减函数， ，故 是单调递减函数, 有实数根，所以， ，∵ ,∴ 单调递 至多有一解，又由题设①知方程 ；(Ⅲ)不妨设 【解析】令所以，方程又由题设①知方程所以，方程(2)易知，令则又即方程综上可知，(Ⅲ)不妨设∴令∴∴ ，∵,即，则 ,即 在区间 ，即 ，则 有实数根， ，故 至多有一解， 是单调递减函数, 有且只有一个实数根…………………………………..4分 ，满足条件②； ， ，…………………………………..7分 上连续，所以有实数根 ,∴， ，故， ，则有 ….……………..….12分 是单调递减函数， 在，故 上存在零点 ， 满足条件①， ……………………………………8分 单调递增， 【考点】本题考查了导数的运用 点评：近几年新课标高考对于函数与导数这一综合问题的命制，一般以有理函数与半超越（指数、对数）函数的组合复合且含有参量的函数为背景载体，解题时要注意对数式对函数定义域的隐蔽，这类问题重点考查函数单调性、导数运算、不等式方程的求解等基本知识，注重数学思想（分类与整合、数与形的结合）方法（分析法、综合法、反证法）的运用.把数算的“力量”与数学思维的“技巧”完美结合. 27. 已知函数是定义在实数集R上的奇函数，且当时成立（其中 的导函数），若 则A．C． 的大小关系是（ ） ， ， B．D． 【答案】A 【解析】由题意函数，而是偶函数，所以 所以 是 上的增函数， 而 是上的减 【考点】本小题主要考查函数的奇偶性和单调性的综合应用，考查利用导数研究单调性以及利用单调性比较函数值的大小，考查学生的逻辑推理能力和综合运用所学知识解决问题的能力. 点评：解决本小题的关键在于由已知条件得出的单调性，解决综合性问题时一定要灵活，要想方设法将待求解问题向熟悉的数学问题上转化. 28. （本小题14分）设函数. （Ⅰ）讨论的单调性； （Ⅱ）已知（Ⅲ）记 … ，若函数为函数，使得 的图象总在直线 的导函数．若 的下方，求的取值范围； 上是否存在（ ）个正数 成立？请证明你的结论. ，试问：在区间 【答案】（1）当在（2）【解析】 （Ⅰ）①当②当当故 在时，时，令 时， 时，的递增区间是；当时，在上单调递增； 上单调递减 （3）存在，证明见解析 ， 恒成立，故，则 ；当 上单调递增；在 时，=，解得 . 为函数 ……2分 ； ……3分 的递增区间是. 时， . 上单调递减； ……6分 的唯一极大值点， （Ⅱ）由上述讨论，当所以 的最大值为 . ……8分 由题意有 所以的取值范围为（Ⅲ）当∵当即又所以又因为 ，所以时，时，在 . ……10分 . 记，∴ 在，其中 . 上为增函数， 上为增函数. ……12分 ，所以，对任意的 ，总有， . . 故在区间上不存在使得成立的（）个正数 …. ……14分 【考点】本小题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、分类与整合思想及有限与无限思想． 点评：对于题目条件较复杂，设问较多的题目审题时，应该细致严谨，将题目条件条目化，一一分析，细心推敲.对于设问较多的题目，一般前面的问题较简单，问题难度阶梯式上升，先由条件将前面的问题正确解答，然后将前面问题的结论作为后面问题解答的条件，注意问题之间的相互联系，使问题化难为易，层层解决. 29. （本小题满分12分） 已知函数在上是增函数，在上是减函数． （1）求函数的解析式； （2）若 时， 恒成立，求实数的取值范围； 在区间 上恰有两个相异实数根，若存在，求 （3）是否存在实数，使得方程出的范围，若不存在说明理由． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】试题分析: ⑴依题意得从而⑵令因为所以⑶设即又 ，得在 或 ，所以， ． ……4分 ， （舍去）， 递增，且 ， 递减，在 ………8分 ， ，． ， ，得 ，减区间为 ． ． 令，得；令所以函数的增区间为 要使方程有两个相异实根，则有 ， 解得． ……12分 【考点】本小题主要考查利用导数求函数的单调区间，利用导数判断函数的单调性，解决有关方程的综合问题. 点评：纵观历年高考试题，利用导数讨论函数单调区间是函数考查的主要形式，是高考热点，是解答题中的必考题目，在复习中必须加强研究，进行专题训练，熟练掌握利用导数判断函数单调区间的方法，总结函数单调性应用的题型、解法，并通过加大训练强度提高解题能力. 30. （本小题满分12分）已知函数，， （1）求函数 的最值； . （2）对于一切正数，恒有成立，求实数的取值组成的集合。 【答案】（1）函数在（0，1）递增，在递减。的最大值为（2） 。 【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。 （1）求解导数，然后根据导数的符号与函数单调性的关系得到判定，求解极值和最值。 （2）要证明不等式恒成立，那么可以通过研究函数的最值来分析得到参数的范围。 解：（1） 所以可知函数在（0，1）递增，在所以的最大值为. （2）令函数 得当时，故x>1时当当所以 时，当 时 恒成立。所以在不满足题意。 时 恒成立，函数 恒成立，函数 ;即 递增， 递增； 递减。 递减。 的最大值 令令函数 ,则 , 时，函数 ， 递减；当 时成立。 时，函数 递增； 所以当所以函数从而就必须当综上 。 31. （本题满分15分 ）已知函数． （1）求函数的最大值； （2）若，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）若【答案】（1）【解析】(1)先求出(2)本小题转化为 在 ，求证：在 ． 处取得最大值，且最大值为0．（2） ． （3）见解析。 ,然后求导确定单调区间，极值，最值即可. 上恒成立，进一步转化为 ,然后构造函数,从而可知a的取值范围. ，利用导数研究出h(x)的最大值，再利用基础不等式可知 （1）当当所以， ，则 ．…………2分 时，，则在上单调递增； 时，，则在上单调递减， 在处取得最大值，且最大值为0． ………………………4分 在 上恒成立． ………………………6分 ． ；当 时， ，所以， ． （2）由条件得设当要使 ，则时， 恒成立，必须 时， ． ………………………8分 ，要使 恒成立，必须 ． 另一方面，当 所以，满足条件的的取值范围是（3）当 时，不等式 ． ………………………10分 等价于 ．……12 令，设，则， 在上单调递增，， 所以，原不等式成立． ………………15分 32. （本小题满分14分）设函数。 （1）若（2）若 在 处取得极值，求的值； 在定义域内为增函数，求的取值范围； （3）设求证：① 求证：② 【答案】（1） ，当时， 在其定义域内恒成立； 。 。（2） 。经检验适合。（3）见解析。 【解析】本题以函数为载体．主要考查了了利用导数研究函数的极值，以及利用导数研究函数的单调性和不等式的证明，属于中档题 （1）先求函数的导函数，根据若x= 时，f（x）取得极值得f′（ ）=0，解之即可； （2）f（x）在其定义域内为增函数可转化成只需在（0，+∞）内有2x2+ax+1≥0恒成立，建立不等关系，解之即可； (3) ，当时，，， ∴ 在 处取得极大值，也是最大值, ，∴ ，∴ 放缩法得到结论。 解：（1）∵（2）要∴而（3）①∴ 在 处取得极值，∴在定义域为 ，…………………………1分 ，即 在 。经检验适合。…………3分 上恒成立。 ，…………………………4分 在定义域内为增函数，则 ，………………………5分 ，∴ ，当 。经检验适合。…………………………6分 时， ， ， …………………………7分 在处取得极大值，也是最大值。 而，∴，在上恒成立， 因此，∴。………………………9分 ②∴ …………………………11分…………………………12分 == = ………………………14分 ，则函数 B．D． ，， ，∴ ，∴ ………………………10分 33. 若函数的导函数是的单调递减区间是 A．C． 【答案】C 【解析】因为由复合函数单调性知 34. 设函数A．C． 可知f(x)的增区间为[-1,0],又因为 ,所以函数g(x)的单调递减区间为 . 是减函数，根据 则 B．x=为f(x)的极小值点 D．x=2为 f(x)的极小值点 x=为f(x)的极大值点 x=2为 f(x)的极大值点 【答案】D 【解析】 ,得x=\"2,\" 因为当 (0,2)时， 当 时， 所以 x=2为 f(x)的极小值点 35. 设函数在上可导,其导函数 ,且函数在处取得极小值, 则函数的图象可能是（ ） 【答案】C 【解析】解：∵函数f（x）在x=-2处取得极小值，∴f′（-2）=0， 且函数f（x）在x=-2左侧附近为减函数，在x=-2右侧附近为增函数， 即当x＜-2时，f′（x）＜0，当x＞-2时，f′（x）＞0， 从而当x＜-2时，y=xf′（x）＞0，当-2＜x＜0时，y=xf′（x）＜0， 对照选项可知只有C符合题意 故选 C 36. 已知函数f(x)＝x3＋ x2－ax－a，x∈R，其中a＞0. （1）求函数f(x)的单调区间； （2）若函数f(x)在区间(－2,0)内恰有两个零点，求a的取值范围； （3）当a＝1时，设函数f(x)在区间[t，t＋3]上的最大值为M(t)，最小值为m(t)，记g(t)＝M(t)－m(t)，求函数g(t)在区间[－3，－1]上的最小值. 【答案】（1）函数f(x)的单调递增区间是(－∞，－1)，(a，＋∞)；单调递减区间是(－1，a) （2） （3） 【解析】解：（1）f′(x)＝x2＋(1－a)x－a＝(x＋1)(x－a).由f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝a＞0. 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (－∞，－1) －1 (－1，a) a (a，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 故函数f(x)的单调递增区间是(－∞，－1)，(a，＋∞)；单调递减区间是(－1，a). （2）由（1）知f(x)在区间(－2，－1)内单调递增，在区间(－1,0)内单调递减，从而函数f(x)在区间 (－2,0)内恰有两个零点当且仅当 解得0＜a＜. 所以，a的取值范围是 . （3）a＝1时，f(x)＝x3－x－1.由（1）知f(x)在[－3，－1]上单调递增，在[－1,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增. ①当t∈[－3，－2]时，t＋3∈[0,1]，－1∈[t，t＋3]，f(x)在[t，－1]上单调递增，在[－1，t＋3]上单调递减.因此，f(x)在[t，t＋3]上的最大值M(t)＝f(－1)＝－，而最小值m(t)为f(t)与f(t＋3)中的较小者.由 f(t＋3)－f(t)＝3(t＋1)(t＋2)知，当t∈[－3，－2]时，f(t)≤f(t＋3)，故m(t)＝f(t)，所以g(t)＝f(－1)－f(t).而f(t)在[－3，－2]上单调递增，因此f(t)≤f(－2)＝－，所以g(t)在[－3，－2]上的最小值为g(－2)＝－－ ＝. ②当t∈[－2，－1]时，t＋3∈[1,2]， 且－1,1∈[t，t＋3]. 下面比较f(－1)，f（1），f(t)，f(t＋3)的大小. 由f(x)在[－2，－1]，[1,2]上单调递增，有 f(－2)≤f(t)≤f(－1). f（1）≤f(t＋3)≤f（2）. 又由f（1）＝f(－2)＝－，f(－1)＝f（2）＝－， 从而M(t)＝f(－1)＝－，m(t)＝f（1）＝－， 所以g(t)＝M(t)－m(t)＝. 综上，函数g(t)在区间[－3，－1]上的最小值为. 37. 已知函数(1)求函数(2)若直线过点【答案】（1）【解析】（1）而在所以 ＞0 lnx+1＞0 的极值点； 且与曲线是函数 相切，求直线的方程； 的极小值点，极大值点不存在.（2）＞0 …………1分 ＞ ＜0 ＜0 0＜＜ 所以 在 上单调递减， 上单调递增.………………3分 是函数 的极小值点，极大值点不存在.…………………4分 （2）设切点坐标为，则切线的斜率为 所以切线的方程为 …………6分 又切线过点，所以有 解得所以直线的方程为………8分 （3），则 ＜0＜00＜＜＞0＞所以在上单调递减，在上单调递增.………………9分 当即时，在上单调递增，所以在上的最小值为……10分 当1＜＜e，即1＜a＜2时，在上单调递减，在上单调递增.在上的最小值为 ………12分 当即时，在上单调递减， 所以在上的最小值为……13分 综上，当时，的最小值为0；当1＜a＜2时，的最小值为； 当时，的最小值为………14分 38. 设 在(1， (Ⅰ)判断函数的单调性； (Ⅱ)是否存在实数、使得关于的不等式值范围，若不存在，试说明理由. 【答案】(1)函数 在 )上恒成立，若存在，求出的取 上为减函数． (2) 【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。 （1）利用已知的函数，得到其导函数，然后再对导函数的分母分析，求导，得到原函数的单调性的判定问题。 （2）因为在上恒成立，即 在上恒成立， 那么构造函数的思想，得到函数的最大值小于零即可。分析证明 (1)∵∴∴∴函数(2)设若 在在 ∴，∴，∴ 上为减函数． …… 6分 上恒成立，，则 显然不满足条件， 若 ，∴，则 在 时， 时，在 . ， 上恒成立，∴ ，∴ ， 在 上恒成立， 在 ， 设 . 上为减函数． …… 4分 ， …… 7分 时， 上恒成立，∴ 时 ，∴ 恒成立，∴ 在 上恒成在 上为在 上为减函数∴立， …… 10分 若 ，则 增函数，当不能使 39. 已知函数 （1）求的单调区间； （2）当时，若方程有两个不同的实根和（ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）求证：. 【答案】（1）减 时， 时，在 在递减； （ⅱ） 递增； 时，递增 在递增；递 （2 的取值范围是 【解析】本试题主要考查了导数在研究函数中的运用。借助于导数的符号与函数的单调性的关系 来确定单调区间，以及运用函数与方程的思想来分析方程根的问题的综合运用。 （1）首先先求解定义域，然后求解导数，令导数大于零或者导数小于零，得到单调区间。需要对于参数a分类讨论。 （2）当a=1，若方程有两个不同的实根，则可以分析函数y=f(x)的图像的变化情况，确定参数k的取值范围。同时借助于单调性证明不等式 （1）时，时，时， 在在在 递增； 又递增；递减； 在 时 递减 递增 5分 递增； 递减 ∴ ∴ 6分 （2）（ⅰ）由（1）知又 ，而 所以的取值范围是 8分 ，则. 即证 . （ⅱ）由（ⅰ）不妨设∵在递减，∴要证即证，即证令， 则∴ 在 递增 ∴ ，即，即， ∴ 40. 函数 的图象大致是（ ） 【答案】C 【解析】函数 是奇函数，图像关于原点对称.且过点（1,0）（-1，0）， .故正确. 41. （本题满分14分） （理）（1）证明不等式：（2）已知函数（3）若关于x的不等式 在在 上单调递增，求实数的取值范围. 上恒成立，求实数的最大值. ， （文）已知函数的导函数的图象关于直线x=2对称. （Ⅰ）求b的值； （Ⅱ）若在处取得极小值，记此极小值为，求的定义域和值域. 【答案】理：（1）见解析；（2） ；（3） . 文：（1）（2）定义域为，值域为 【解析】(1)两边都有变量x在证明时，如果可看作两个函数，但不能做出其图像的情况下，一般 考虑构造成一个函数通过研究最值来解决，本小题显然可以构造数研究其最值即可证明. (2)本小题解决的思路是在 上恒成立问题解决. 在 在 上单调递增转化为 ,然后利用导 (3)本小题可先把参数与变量分离，基本思路是由已知 ， 当x>0时，易得然后再研究 的最小值即可. 恒成立. 上恒成立，∵ 文：（1）由于f(x)的导函数是二次函数，所以x=2就是其导函数的对称轴，据此可求出b值. （II）由（Ⅰ）知，， . 然后再分别讨论当c 12和c<12的极值情况，从而确定其极小值，由于极小值g(t)是关于t的函数，然后再利用函数求定义域和值域的方法求解即可 解：（理）（1）令 ， 则∴g(x)在 上单调递减，即g(x) ……………4分 （2）由 在上恒成立，∴ ………………8分 （3）由已知当x>0时，易得令 得 在 ，当x=0或，又f(x)在上恒成立，∵ 时， ，由已知得 ； 有意义，∴a≥0，综上： ， 恒成立，……10分 恒成立，由（2）知：令a=2得：（1＋x）>； …………12分 ,[来∴ 由（1）得：当时， ；∴当时，不大于；∴； 当x=0时，b∈R，综上：解：（文）（Ⅰ） ………14分 .因为函数 的图象关于直线x=2对称，所以 ，于 是 ………………2分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，，. ………4分 （ⅰ）当c 12时，，此时无极值. ………6分 （ii）当c<12时，有两个互异实根,.不妨设＜，则＜2＜. 当x＜时，，在区间内为增函数； 当＜x＜时，，在区间内为减函数; 当时，，在区间内为增函数. 所以在处取极大值，在处取极小值. ………10分 因此，当且仅当时，函数在处存在唯一极小值，所以. 于是的定义域为.由得. 于是 . ………12分 当时，所以函数在区间内是减函数，故 ………14分 42. 已知函数）. （1）若对任意 ， ， 的值域为 （其中为自然对数的底数，常数 恒成立，求正实数的取值范围； 在区间成立. （3）见解析 上的单调性； （2）在（1）的条件下，当取最大值时，试讨论函数（3）求证：对任意的【答案】（1） ，不等式；（2） 在区间 【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用，求解函数最值问题和不等式的证明。主要是对于承参数问题的分类讨论思想要深刻体会。 解：（1）由令故得 ..---------（1分） （2）由（1）知 故 在区间 在区间.即 对任意 .----------（3分） 上单调递减，在区间 即. 成立.--------------------- -------（2分） 上单调递增， 此时 , 在区间 对任意 恒成立，即 对任意 恒成立 则 上单调递增，在区间 得 上单调递减， ----------------（2分） （3）由（2）知故当从而， 时 于是 43. (本小题14分)已知函数处的切线与直线 平行（1）求 的值； 在 处取得极值，其图象在点 （2）若对【答案】（1）又联立得（2）依题意得则解当 则又 都有恒成立，求的取值范围。 ，由题意 ———① ———② …………5分 即 得 …10分 ，所以 ；故只须 ………12分 ，对 恒立设 ， 解得 即的取值范围是 …………14分 【解析】略 44. 本题满分13分）已知函数． （I）当时，求函数的单调区间； （II）若函数的图象在点处的切线的倾斜角为任意的【答案】（I）当 时，，函数 在区间 ，问：m在什么范围取值时，对于 上总存在极值？ ……………………………………………………………1分 ， ……………………………………2分 ，所以在（0，1）上单调递增；………4分 ，所以在（1，+∞）上单调递减．…………6分 的图象在点（2，）处的切线的倾斜角为45o， ． ………………………………………………7分，，函数 在区间 上总存在极值， 令时，解得 令时，解得（II）因为函数所以． 所以 因为任意的所以只需解得 ， ， ……………………………………………………9分 …………………………………………………………11分 ． ……………………………………………………………13分 【解析】略 45. （14分）．已知函数，在点处的切线方程 为． （Ⅰ）求函数的解析式； （Ⅱ）若对于区间上任意两个自变量的值，都有，求实数 的最小值； （III）若过点，可作曲线的三条切线，求实数的取值范围 【答案】解：（I） ……………… 2分 根据题意，得 即 解得 ………………4分 （II）令，解得 由，在，上为增函数，在为减函数，又 时， ……………6分 则对于区间[-2，2]上任意两个自变量的值，都有 所以所以的最小值为4。 ………………8分 （Ⅲ）设切点为 ， 切线的斜率为 ……………9分 则 即 ， ……………10分 因为过点，可作曲线的三条切线 所以方程有三个不同的实数解 即函数有三个不同的零点， ………………11分 则函数的极大值要大于零且极小值要小于零 令 所以 即 【解析】略 46. 已知函数 ，∴ + 0 （0，2） 2 0 - 0 （2，+∞） + 在 极大值 极小值 由上表可知函数，（2，+∞）上为增函数，在（0，2）上为减函数， ………………12分 ………………14分 的定义域为， ，，，其导函数的图像如图所示， 若正数满足，则 的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：由导函数图象，可知函数在（0，+∞）上为单调增函数 ∵f（6）=1，正数a，b满足f（2a+b）＜1 ∴0＜2a+b＜6，a＞0，b＞0 满足约束条件的平面区域如图． 又因为 表示的是可行域中的点与（-2，-2）的连线的斜率． 所以当（-2，-2）与A（0，6）相连时斜率最大，为4， 当（-2，-2）与B（3，0）相连时斜率最小为, 故选C． 47. 已知函数（1）若 为上的增函数，求的取值范围。； 。 ，若 对 恒成立 ， 为上的增函数，则 。 （2）证明： 【答案】解：（1）由题设可知 对 ，（2）设，设 在区间 ，当 时， 在区间 恒成立，即（6分） 上单调递减；当 时， 上单调递增 。（12分） 【解析】略 48. 已知函数f（x）＝ax－lnx（a为常数）． （Ⅰ）当a＝1时，求函数f（x）的最小值； （Ⅱ）求函数f（x）在[1，＋∞）上的最值； （Ⅲ）试证明对任意的n∈N﹡都有【答案】解（1）当∵∵当∵当∴当（2）∵ ，令时，时时，函数 在 上为减函数 ； --------4分 时，函数得 在在 上为减函数 上为增函数 --------3分 = ＜1． ， ∴函数 ∴函数有最小值， 若，则对任意的都有，∴函数∴函数在上有最大值，没有最小值，若 ，令 得 当当∴当当 时，时时，函数时， 在 ，当 ∴函数 时 在 ，函数在上为减函数 上为增函数 ------6分 有最小值，恒有 ∴函数在函数在综上得：当当 上为增函数， 有最小值，时，函数在 有最小值， ． ---------7分 上有最大值，，没有最小值； ，没有最大值； 时，函数 当时，函数在有最小值，，没有最大值．---8分 （3）由（1）知函数=在上有最小值1 即对任意的都有，即， ---------10分 当且仅当时“＝”成立 ∵∴ ∴对任意的【解析】略 49. (本小题满分16分)设(1)当(2)若 时，求 的极值点； ，其中为正实数. 都有 ． ……12分 ∴ 且 为上的单调函数，求的取值范围. 时， 【答案】解：(Ⅰ)当 ∴令 得 0 ∴(Ⅱ) ∵∴ 的极大值点是；极小值点是 为上的单调函数，且为正实数 即 0 【解析】略 50. 已知函数（I）求（II）若（III）设 求m的取值范围。 【答案】（Ⅰ）由题意，所以，（Ⅱ） 所以范围是 （Ⅲ）构造函数当当在使得 时，由时， 上恒成立，故 ，必须且只需 ． …………………13分 另法:（Ⅲ）当当 时，由 时， ，得 ，所以 综上，要在 上存在一个，使得 在． ， 令上递减， ，必须且只需 ，则 ． ． 在得， ， 在在 ，，上恒成立，即 在 ， ，所以在，因为 上单调递增， ，解得 上不存在一个，使得，所以 ，，所以要在 ，故的取值范围是 ，所以上存在一个， ，∴当 上是增函数，故 ，由于上恒成立，故 时， 在 ；当 时， ， 上是减函数，在 ． …………4分 内为单调增函数， ，所以的取值 的极小值； 上为单调增函数，求m的取值范围； （e是自然对数的底数）上至少存在一个 成立， ． …………8分 ． …………………………………………10分 【解析】略 51. （14分）已知函数（Ⅰ）证明； （Ⅱ）证明 （Ⅲ）当（Ⅱ）中的【答案】证明（Ⅰ）令（Ⅱ）①令假设，即②令假设∴∴（Ⅲ）当 时， 成立。 ，∵，∴时， ，即成立。 时，，∵ 在R上有定义，对任何实数和任何实数，都有 其中和均为常数； 时，设，则，∴ ，则，，则成立。 ，则 ，而 ，而 ， ，∵ ，讨论，∴。 ，∴ 在。 内的单调性并求极值。 ， 令当∴当∴，得； 时，， 是单调递减函数； 时，， 是单调递增函数； 时，函数 在 内取得极小值，极小值为 所以当 【解析】略 52. 已知函数，为实数． （Ⅰ）当时，求函数的单调增区间； （Ⅱ）若在闭区间上为减函数，求的取值范围． 【答案】16.解：（1）当时， ，由或 3分 故单调增区间为和 4分 （2）由 7分 记， 依题时，恒成立，结合的图象特征 得 【解析】略 53. 已知函数(I)求函数(Ⅱ)函数(Ⅲ)若任意的【答案】解：（Ⅰ） ，在区间故 ， 和 上， 和的最大值. 上单调递增，在 上单调递减， ；在区间 上 ， . …………4分 ． 的单调区间； 在区间[1，2]上是否有零点，若有，求出零点，若没有，请说明理由； ∈(1，2)且≠，证明： . . ……………2分 (注： 即 ，的取值范围 . 12分 的单调递增区间是，单调递减区间是 （Ⅱ）先求在由（Ⅰ）可知， 当故由 可知时， 在 .………………6分 ， ， ， 所以，，， 故不存在符合条件的，使得. ………………8分 （Ⅲ）当只需证明 时， 在， 上单调递增，在 都成立， 上单调递减， 也可得证命题成立．………………10分 设在 设在 上是增函数， ， 上是减函数， ， ， 综上述命题成立. ………………12分 另解: 当在， ， 时，上单调递减，在 ， ， .………10分 ，上单调递增， 由导数的几何意义有 对任意 ， ．…………12分 【解析】略 54. 、(本小题满分14分)设函数(Ⅰ)求的单调区间； (Ⅱ)当 时，若方程 在 上有两个实数解，求实数t的取值范围； (Ⅲ)证明：当m>n>0时，【答案】解：（Ⅰ）①时， ∴②当 时， 在 在 在（—1，+）上是增函数 ……………1分 上递增，在上单调递增，在 单调递减. …………4分 上单调递减 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，又∴∴当（Ⅲ）要证：只需证：设 时，方程 只需证 ， 则 有两解 ………………8分 ………………10分 由（Ⅰ）知在单调递减 ………………12分 ∴，即是减函数，而m>n ∴，故原不等式成立。 ………………14分 【解析】略 55. （本题满分13分） 已知函数 （ ，为正实数）. （Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）求函数的单调区间； （Ⅲ）若函数的最小值为，求的取值范围. 【答案】解：（Ⅰ）当则所以（Ⅱ） .又 时， ， . ………………………………………………… 2分 ，因此所求的切线方程为 . ………… 4分 . ………………………… 5分 上单调递 （1）当，即时，因为，所以，所以函数在增. ………………………………………………………………… 6分 （2）当，即时，令，则（）， 所以因此，当所以函数 . 时， 的单调递增区间为 ，当 ，函数 时， . 的单调递减区间为 . ………………………………………………………………… 10分 （Ⅲ）当时，函数在上单调递增，则的最小值为意. ………………………………………………………………… 11分 当 时，由（Ⅱ）知函数，则 的最小值为 的单调递增区间为 ，而 ，不合题意. ，函数 ，满足题 的单调递减区间为 所以的取值范围是. ………………………………………………… 13分 【解析】略 56. （本小题满分12分） 已知函数 （I）若在区间上是增函数，求实数a的取值范围； （II）若 的一个极值点，求 上的最大值； 的图象恰有3个交 （III）在（II）的条件下，是否存在实数b，使得函数 点，若存在，请求出实数b的取值范围；若不存在，试说明理由。 【答案】解：（I）， 即则必有（II）依题意即 …………5分 …………4分 令得 当x变化时， 则 的变化情况如下表： 1 （1，3） 3 （3，4） 4 （III）函数即方程 是其中一个根，有两个非零不等实根， …………12分 【解析】略 57. 函数在定义域R内可导，若 则( ) A． -6 在[1，4]上的最大值是 - 0 + -18 …………8分 -12 的图象与函数f（x）的图象恰有3个交点， 恰有3个不等实根 ，且当时，，设 B． C． D． 【答案】B 【解析】由 所以 故选B 知：所以函数在上是增函数； 58. （本题满分13分） 函数． （1）求证函数在区间上存在唯一的极值点，并用二分法求函数取得极值时相应的近似值（误差不超过）；（参考数据，，） （2）当 时，若关于的不等式 ． (4分) 恒成立，试求实数的取值范围. 【答案】解：⑴椭圆的方程为 ⑵由题意，知直线MN存在斜率，设其方程为y＝kx＋m 由 消去y，得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－2＝0．设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则， 由已知α＋β＝π，得 且 ，即 ， 整理得m＝－2k．∴ 化简，得2kx1x2＋(m－k)(x1＋x2)－2m＝0 ∴ 直线MN的方程为y＝k(x－2),,,,因此直线MN过定点 (2，0) 【解析】略 59. 已知函数（I）求的表达式; （Ⅱ）若满足 （ （Ⅲ）当 在点处的切线方程为 是 ． 为 恒成立,则称的一个“上界函数”,如果函数 R）的一个“上界函数”,求t的取值范围; 在区间（0,2）上极值点的个数． 的解的情况： 时,讨论 【答案】（1）a=\"1 \" b=\"0 \" （2）t（3当当 ，令 时，有两个极值点； 当m=1无极值点； 有一个极大值。 【解析】略 60. 已知函数在上是增函数，在上是减函数，且方程个根，它们分别是. （1）求的值； （2）求证： （3）求的取值范围. 【答案】解：′…………………………1分 （1）依题意知为函数的极大值点 ′（0）=\"0 \" …………4分 （2）证明：由（1）得′ 为的根学*科*网] ①式 又在[0，2]上为减函数′≤0 ②式 由知②≤-3 由①知 ，由≤-3知≥2…………9分 （3）解：∵的三个根为……10分 ………12分 ………13分 ≤-3 ≥9,即【解析】略 61. (本小题满分12分)已知函数(1)若 ，求x的取值范围； . ≥9, ≥3 有三 (2)若对于∈[1,2]恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】解：(1)当x<0时，f(x)＝0； 当x≥0时，f(x)＝2x－由条件可知2x－解得2x》2 ∵2x>0，∴x》1． (2)当t∈[1,2]时，2t ＋m ≥0， . 》2，即22x－1.5·2x－1》0， 即m(22t－1)≥－(24t－1)． ∵22t－1>0，∴m≥－(22t＋1)． ∵t∈[1,2]，∴－(1＋22t)∈[－17，－5]， 故m的取值范围是[－5，＋∞)． 【解析】略 62. 函数在下面那个区间为增函数 A B C D 【答案】C 【解析】分析：对给定函数求导后，把选项依次代入，看哪个y′恒大于0，就是哪个选项． 解答：解：y′=（xsinx+cosx）′=sinx+xcosx-sinx=xcosx， 当x∈ 时，恒有xcosx＞0． 故选C． 点评：考查利用导数研究函数的单调性问题． 63. (l2分)已知函数为自然对数的底数 (I) 当时，求函数的极值； (Ⅱ) 若函数在[-1，1]上单调递减，求的取值范围． 【答案】解：（I）当时，， ………………2分 当变化时，，的变化情况如下表： 所以，当时，函数的极小值为，极大值为.……………5分 （II） 令①若，则，在内，，即，函数 在区间上单调递减.………………7分②若，则，其图象是开口向上的抛物线，对称轴为当函数③若当且仅当函数 在区间，即在区间，则 ，当且仅 时，在内，， 上单调递减.………………9分 ，其图象是开口向下的抛物线， ，即 时，在 内 ， ， 上单调递减.………………………11分 在区间 上单调递减时，的取值范围是 ．…12分 综上所述，函数 【解析】略 . (本题满分12分) 已知函数（I）如果 在 （II）若函数在【答案】（I）4 （II）a＞1 【解析】解：（I）∴切线方程为 ∴切点坐标为 , 处的切线过（0，1）点，求的值； 为增函数，求实数的取值范围。 ------------2分 ---------5分 （II）∴ , ∵函数在为增函数， ----------7分 ， 65. 函数 ---12分 的单调递减区间是_________． 【答案】，【解析】略 66. (本题满分14分) 已知实数a满足0＜a≤2，a≠1，设函数f (x)＝x3－x2＋ax． (Ⅰ) 当a＝2时，求f (x)的极小值； (Ⅱ) 若函数g(x)＝x3＋bx2－(2b＋4)x＋ln x (b∈R)的极小值点与f (x)的极小值点相同．求证：g(x)的极大值小于等于． 求a，b及c的值． 【答案】(Ⅰ) f (x)极小值为f (2)＝． (Ⅱ) 略 【解析】 (Ⅰ) 解: 当a＝2时，f ′(x)＝x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)． 列表如下： x (－，1) 1 (1，2) 2 (2，＋) 0 － 0 ＋ f ′(x) ＋ f (x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以，f (x)极小值为f (2)＝． …………………………………5分 (Ⅱ) 解：f ′(x)＝x2－(a＋1)x＋a＝(x－1)(x－a)． g ′(x)＝3x2＋2bx－(2b＋4)＋＝ ． 令p(x)＝3x2＋(2b＋3)x－1， (1) 当 1＜a≤2时， f (x)的极小值点x＝a，则g(x)的极小值点也为x＝a， 所以p(a)＝0， 即3a2＋(2b＋3)a－1＝0， 即b＝ ， 此时g(x)极大值＝g(1)＝1＋b－(2b＋4)＝－3－b ＝－3＋由于1＜a≤2， 故 ≤ 2－－＝．………………………………10分 ＝ ． (2) 当0＜a＜1时， f (x)的极小值点x＝1，则g(x)的极小值点为x＝1， 由于p(x)＝0有一正一负两实根，不妨设x2＜0＜x1， 所以0＜x1＜1， 即p(1)＝3＋2b＋3－1＞0， 故b＞－． 此时g(x)的极大值点x＝x1， 有 g(x1)＝x13＋bx12－(2b＋4)x1＋lnx1 ＜1＋bx12－(2b＋4)x1 ＝(x12－2x1)b－4x1＋1 (x12－2x1＜0) ＜－(x12－2x1)－4x1＋1 ＝－x12＋x1＋1 ＝－(x1－)2＋1＋≤ (0＜x1＜1) ＜． 综上所述，g(x)的极大值小于等于． ……………………14分 67. (本小题满分14分) 已知函数. (Ⅰ)若,求函数的极值； (Ⅱ)当时,不等式恒成立,求实数的取值范围。 【答案】(Ⅰ) 当时, 取极大值3. (Ⅱ) 实数的取值范围是 【解析】解：(Ⅰ) 令，得又由定义域可知由此可知： 时，由题意得, ………………………… 1分 ………………………… 2分 ………………………… 3分 ∴ 当(Ⅱ)∵∴当 时, ,∴在 时, .即 时, - ↘ 时, + 极小3 ↗ 取极大值3. ………………………… 6分 , .……………… 8分 恒成立. ……………… 10分 在 . 上恒成立，当 时取等 又易证∴当 上恒成立,∴,∴由上知 号………………………… 12分 故实数的取值范围是.………………………… 14分 68. 若存在实数k，b，使得函数和对其定义域上的任意实数x同时满足： ，则称直线：为函数的“隔离直线”。已知（其中e为自然对数的底数）。试问： （1）函数（2）函数理由。 的图象是否存在公共点，若存在，求出交点坐标，若不存在，说明理由； 是否存在“隔离直线”？若存在，求出此“隔离直线”的方程；若不存在，请说明 【答案】 【解析】略 69. 函数A．0 的零点是 （ ） B．0，1 C．0，1，—1 D．无穷多个 【答案】C 【解析】略 70. （本小题满分14分） 设函数 （Ⅰ）当时，求（Ⅱ）当时，求（Ⅲ）若对任意 成立，求的取值范围. 【答案】（Ⅰ）所以（Ⅱ）当当当（Ⅲ） 时，时， 的定义域为 . . 时，在 . 的极值； 的单调区间； 及，恒有的极小值为的递减区间为单调递减. 的递减区间为 ；递增区间为 . ，无极大值 ；递增区间为 . 【解析】解：（Ⅰ）依题意，知当令当又（Ⅱ）当 时， ， 时，，解得时， ， .…………2分 ；当 时，的极小值为 . ，无极大值 .………4分 …………5分 ，所以 令当令 ，得时，得，得 或，令，令；当 ，得，得时， 或 ；…………6分 ， .…………8分 ；递增区间为 . 综上所述，当当当 时，时， 时，在 的递减区间为单调递减. 的递减区间为 时，时， ；递增区间为在单调递减. 取最小值. .…（9分） （Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当当时，取最大值；当所以 .………………11分 因为所以又所以 上式也可以化为： 所以 ， 又因为所以 恒成立， ，整理得 ，得 .………14分 恒成立，利用一次函数求m的范围. . ， 71. （本小题满分16分） 设定义在区间[x1，x2]上的函数y=f(x)的图象为C，M是C上的任意一点，O为坐标原点，设向量=，，=(x，y)，当实数λ满足x=λ x1+(1－λ) x2时，记向量=λ+(1－λ) ．定义“函数y=f(x)在区间[x1，x2]上可在标准k下线性近似”是指“ k恒成立”，其中 k是一个确定的正数 （1）设函数 f(x)=x2在区间[0，1]上可在标准k下线性近似，求k的取值范围； （2）求证：函数 在区间 上可在标准k=下线性近似． （参考数据：e=2.718，ln(e－1)=0.541） 【答案】【解】（1）由=λ+(1－λ)得到=λ， 所以B，N，A三点共线， ……………………2分 又由x=λ x1+(1－λ) x2与向量=λ+(1－λ)，得N与M的横坐标相同……4分 对于 [0，1]上的函数y=x2，A(0，0)，B(1，1)， 则有 所以k的取值范围是（2）对于A()，B(则直线AB的方程令于是列表如下： ，其中 ， ……………………13分 ，故 ； ． ……………………6分 上的函数， )， ……………………8分 ， ……………………10分 ， x me mmm(e，e+1－e) mme+1－e mmm(e+1－e，e+1) me+1 + 0 － 则又 【解析】略 72. 曲线在 0 增 处取得最大值， 减 0 ，且在 0.123 ，从而命题成立． ……………16分 在处的切线的方程为 【答案】 【解析】略 73. ．设为曲线上一点,曲线在点处的切线的斜率的范围是,则点纵坐标的取值范围是________. 【答案】略 【解析】略 74. 、若函数的导函数在区间上是增函数，则函数在区间上的图象可能是 y （ ） A B C D 【答案】A 【解析】略 75. (本小题共12分)（注意:在试题卷上作答无效） 已知(1)求(2)设 的单调区间； ’若存在 使得 成的取值范围. 【答案】 【解析】略 76. （．（本小题满分14分） 设函数。 （1）求函数的单调区间； （2）当 时，不等式 恒成立，求实数的取值范围； （3）若关于x的方程在上恰有两个相异实根，求实数a的取值范围。 成都外国语学校2011级高三(下)三月月考试题 【答案】 【解析】略 77. ．(本小题满分12分) 已知函数（1）求函数（2）已知 ． 在区间上的最大值、最小值； ，求证：在区间上，函数的图象在函数 的图象的下方． 【答案】解：（1）∵当∴（2）令则 所以，当连续，且 时， ．∴ 时， ． ∴ 在区间 ………………………………………2分 上为增函数． …………4分 ． …………………………………6分 ， ． ………………………………………8分在区间 上为减函数．………10分又函数 在 处 ．----------------------11分 ∴ 所以在区间【解析】略 78. 若函数（ ） ，即 上，函数 ，即的图象在函数 的图象的下方．………12分 的导函数在区间[a,b]上是增函数，则函数在区间[a,b]上的图像可能是 【答案】 A 【解析】略 79. 设函数，。 （1）求函数的单调区间和极值。 （2）若关于的方程=\"a\" 有三个不同实根，求实数a的取值范围。 （3）已知当时，恒成立，求实数的取值范围。 【答案】（1）在和单调递增在（单调递减。 其极大值为，极小值为 （2） （3） 【解析】（1）∵，∴ 令 得 + 0 － 0 + 极大 极小 由此可知在和单调递增在（单调递减。 其极大值为，极小值为 （2）由（1）可知函数的图象大致如下， 有三个不等 实根等价于曲线 和有三个不同处点。 故 （3）由，∴，即曲线在（1，0）处的切线斜率等于-3的斜率为 易知当时，成立 80. 已知函数（1）讨论函数（2）已知数列① 证明对一切② 证明对一切【答案】（1） 满足且， 。 在定义域内的最值（4分）； 。 ，（4分）； （这里是自然对数的底数）（6分）。 为 在定义域内的最大值； 在其定义域内无最小值 （2）证明略 【解析】（1）当时，在其定义域当且时，故 时， 时，， ＞0，在 为 ，由在 ， 内是增函数，无最值；………1分 ， 内递增； 内递减， 在定义域内的最大值； 在其定义域内无最小值 …………………4分 （2）① 易用数学归纳法证明。 …………………8分 ② 当时，由第（1）小题知对恒成立， 由① 知 所以 所以 显然 ；因为 。 ，所以 时， ， 所以 ，综合知对一切。 …………………14分 81. (本小题满分15分) 已知是函数的一个极值点，其中（Ⅰ）求与的关系表达式； （Ⅱ）求的单调区间； （Ⅲ）当时，函数的图象上任意一点的切线斜率恒大于【答案】解：（I）， 是的一个极值点，所以，即， 。 ------ 4分 （II）解：由（1）知由于 时，故 ，当变化时 与 的变化如下表： 1 。 ，求实数的取值范围。 <0 0 >0 0 <0 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 时， 在 单调递减，在 单调递增，在 单调递 由上表知：当 减。 ------ 9分 （III）由已知,得对恒成立, 即：对恒成立， 令，即 即：的取值范围是【解析】略 82. （本小题满分14分） 已知二次函数（I）求的解析式 （II）若函数【答案】解：（1） 【解析】略 83. ．（本小题满分14分） 已知函数 在定义域上是奇函数； 恒成立，求实数的取值范围； 时，试比较 ，解得 时，[来 在定义域上是奇函数。 ………4分 时， 恒成立， 或 ， 与 的大小关系 ，，得 ， 得图象开口向下， 。 ------ 15分 为偶函数，函数的图象与直线y=x相切.[] 上是单调减函数，求k的取值范围； （2） （Ⅰ）求函数的定义域，并证明（Ⅱ）若（Ⅲ）当 【答案】解：（Ⅰ）由∴ 函数的定义域为当 ∴ （Ⅱ）由∴ ∴ 在成立 令，，由二次函数的性质可知时函数单调递增，时函数单调递减， 时， ∴ ………8分 （Ⅲ）证法一：设函数则所以则当 时， ，故时, = , ，即 在在 上递减， 成立， 成立. ………14分 ， ，∴ 在 证法二：构造函数当 时， 单调递减， ………12分 当（）时， …14分 【解析】略 84. (文)设函数在定义域内可导，则导函数的图象可能为 的图象如图， 【答案】D 【解析】略 85. (本小题满分14分) 已知函数（1）若（2）若（3）函数有，请说明理由. 【答案】解：（1） ……3分 （2）时，令（ⅰ）（ⅱ）则 时，时，时， ， 增函数， ， ，增函数，且 ， ……5分 ，不满足题意，舍去….6分 在上 恒成立 ，曲线 ， 和在，在 . 在原点处的切线重合，求实数的值. 上恒成立，求的取值范围. 上函数 图象与直线y=1是否有交点？若有，求出交点，若没 ，不满足题意，舍去. …….8分 【解析】略 86. 已知 A．有三个零点 且，则在区间上（ ） B．有两个零点 C．有一个零点 D．不能确定 【答案】C 【解析】本题考查导数的应用。 点拨：确定的单调性是解题的关键。 解答：由已知得 所以 在区间 上单调递减又 ，即区间端点函数值异号，故在区间上有且仅有一个零点， 故选C。 87. （本小题满分12分）已知函数 （Ⅰ）当时，求函数的图像在点处的切线方程； （Ⅱ）若在R上单调，求的取值范围； （Ⅲ）当 时，求函数 的极小值． 【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）a的取值范围是[-2，2] （Ⅲ）函数f（x）的极小值为 【解析】解 ①当a=0时， …………2分 ∴函数f（x）的图像在点A（1，f（1））处的切线方程为y-3e=5e（x-1） 即 …………3分 （Ⅱ）， 考虑到恒成立且系数为正 ∴f（x）在R上单调等价于 恒成立 …………6分 ， 即a的取值范围是[-2，2] （若得a的取值范围是（-2，2），可扣1分）…………8分 （Ⅲ）当 的变化情况如下表 X + 0 - 1 + 0 极大值 极小值 …………12分 。(1)求函数 所以，函数f（x）的极小值为 88. 已知函数 (2)设，函数 立，求实数的取值范围。 【答案】解：(1)由由 的增区间为而的值域为(2)由，则的值域为则 ， ，得，得 ，减区间为 ，且 或 且， 的单调区间和值域； 总存在 ，使得 成 ，若对于任意 ，又已知 在区间上连续 ，得 在区间上是减函数 ，根据题意，有，解之得 实数的取值范围为【解析】略 . 设函数 在 内有定义，对于给定的正数k，定义函数 取函 数，若对任意的，恒有【答案】1 【解析】略 90. 、（本题满分14分） 已知函数 （1）求函数的单调区间与极值； （2）设，若对于任意，【答案】(1) (2) ，则k的最小值为 。 恒成立，求实数的取值范围． 【解析】 所以（Ⅱ）由已知因为即 因为所以 是的极大值，是的极小值. …………9分 ………………10分 ，所以 恒成立， 恒成立，………………………11分 恒成立. ……………………………12分 ，所以 ，（当且仅当 ，得 时取“=”号）， ， ………………14分[ ， ． 的最小值为2. 由 所以恒成立时，实数的取值范围是 91. （本小题满分15分）已知函数（1）讨论函数的单调区间； （2）设函数【答案】（1）递减。 （2） 【解析】（1）ks*5u 当时，即当即（2）若函数 在区间时，即在 内是减函数，则或 ， 在区间在 内是减函数，求的取值范围． ， 上递增，在 ks*5u时，时， ，， ， 在上递增。 递减。 求得两根为上递增，在 且 解得 92. （ (本小题满分12分) 已知 在区间[0,1]上是增函数,在区间 ≤x成立,求m的取值范围. 上是减函数,又 (Ⅰ)求的解析式; (Ⅱ)若在区间(m＞0)上恒有【答案】(1) (2) 【解析】解：（Ⅰ） ，由已知， 即，（Ⅱ）令，又 或 解得 ，，即． 上恒成立， ， ， ． 在区间． 93. （本小题满分14分） 已知函数在（Ⅰ）求实数的值； （Ⅱ）若关于的方程（Ⅲ）证明：【答案】(1) (2) (3)略 【解析】．解：（Ⅰ）（Ⅱ）由（Ⅰ）知． 设（则令 ，得 ， 上单调递增，在 在（ 上单调递减． 上恰有三个不相等的实数根，求实数的取值范围； ）．（参考数据： ） ，由题得，）， ， ． 4分 ，即，解得． 2分 当变化时，的变化情况如下表． 由方程 ＋ 0 － 1 0 ＋ 2 ↗ 在 极大值 ↘ 极小值 ↗ 上恰有三个不相等的实数根， 得 ∴（Ⅲ）设当 时， ． 8分 ，( )，则 在 上是减函数， ， 10分 ，即 ，当 ， ，函数 时，， 12分 ， 原不等式成立． 14分（本小题也可用数学归纳法证明） 94. 设函数． （1）当时，求的单调区间； （2）若【答案】 在 上的最大值为，求的值． ，单调递减区间为， ，， 的单调递增区间为 的定义域为 【解析】解：函数， （1）当（2）当所以 在时，时， ，所以 在 的单调递增区间为，单调递减区间为， 上单调递增，故上的最大值为，因此． 95. （本小题满分14分） （Ⅰ）已知函数f(x)=x3-x ,其图像记为曲线C. （i） 求函数f(x)的单调区间； （ii） 证明：若对于任意非零实数x1 ,曲线C与其在点P1（x1,f(x1)））处的切线交于另一点P2（x2,f(x2)），曲线C与其在点P2处的切线交于另一点P3（x3,f(x3)），线段P1 P2, P2 P3与曲线C所围成封闭图形的面积分别记为S1，S2，则 为定值； （Ⅱ）对于一般的三次函数g(x)=ax3+bx2+cx+d(a 0),请给出类似于（Ⅰ）（ii）的正确命题，并予以证明。 【答案】本小题主要考查函数、导数、定积分等基础知识，考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、特殊与一般思想。满分14分。 解法一： （Ⅰ）（i）有f(x)=x3-x得f’(x)=3x2-1=3(x-当x(当x( ,， )和( ， )时，f’(x)>0; )(x+ ). )时，f’(x)<0。 （ⅱ）曲线C在点P1处的切线方程为 y=(3x12-1)(x-x1)+x13-x1， 即y=(3x12-1)x-2 x13. 由 得x3-x=(3x12-1)x-2 x13 即（x-x1）2(x+2x1)=0, 解得 x=x1或x=-2x1, 故x2=-2x1. 进而有 用x2代替x1,重复上述计算过程，可得x3= -2x2和S2=又x2=-2x10，所以S2= ,因此有 。 。 （Ⅱ）记函数g(x)=ax3+bx2+cx+d（a0）的图像为曲线C’，类似于（Ⅰ）（ii）的正确命题为：若对于任意不等于 的实数x1,曲线C’与其在点P1（x1, g(x1)）处的切线交于另一点P2（x2, g(x2)）,曲线C’与其在点P2处的切线交于另一点P3（x3, g(x3)），线段P1P2、P2P3 与曲线C’所围成封闭图形的面积分别记为S1，S2，则 为定值。 平移至 证明如下： 因为平移变换不改变面积的大小，故可将曲线y=g(x)的对称中心 解法二： （Ⅰ）同解法一。 （Ⅱ）记函数g(x)=ax3+bx2+cx+d(a0)的图像为曲线C’，类似于（Ⅰ）（ii）的正确命题为：若对于任意不等于 的实数x1,曲线C’与其在点P1（x1, g(x1)）处的切线交于另一点P2（x2, g(x2)）,曲线C’与其在点P2处的切线交于另一点P3（x3, g(x3)），线段P1P2、P2P3 与曲线C’所围成封闭图形的面积分别记为S1，S2，则 为定值。 证明如下： 用x2代替x1，重复上述计算过程，可得x3= 又x2=所以故 和 。 【解析】略 96. 已知函数(d为常数） （1）当对，求单调区间； （2）若函数在区间(0，1)上无零点，求a的最大值． 【答案】（1）的单调递减区间为，单调递增区间为；（2）2 【解析】（1）当时，先求导函数，解不等式并和定义域求交集得函数 的递 增区间，解不等式1)上无零点相当于对值．显然当 时， 并和定义域求交集得函数，恒成立或者恒成立，当 时，先求得 的递减区间；（2）若函数 恒成立，则可转化为求函数 ，令 在区间(0，的最得， ，分别讨论与定义域(0，1)的位置关系，研究函数的大致形状，从而求其最值,若 最小值大于0则恒正，若最大值小于0则 恒负． 试题解析：（1）当 时，函数 ， 5分 由得，由得 故的单调递减区间为，单调递增区间为（2）若函数在区间上无零点，则 对，恒成立或者恒成立． 由，得，， 故若，恒成立； 若 ， ， 在区间 上无零点，只要对 所以，函数在区间上不可能恒成立，故要使函数 ，恒成立． 8分 （后续步骤分为解法一和解法二） 解法一：， 当即此时构造所以当10分 当 ，即 时， 时，由 ， ，即对 得 ，，由 ， ，即在区间 时，由 得 ，由 得 ， 上单调递减，在区间上单调递增； ， ，故 ， 不恒成立，舍去； 得 ， 即在区间上单调递减，故满足对，恒成立， 综上，，即的最大值为2． 12分 解法二： 由对令令即即 在区间 ，， ，由 ，从而 上单调递减， 恒成立可得对 ， 得 恒成立． 在区间， 上单调递增， 由罗比达法则知若对 ， 恒成立，可得 ，即， ，即的最大值为2 12分 【考点】１、导数在单调性上的应用；2、利用导数求函数的极值、最值． 97. 已知函数____________. 【答案】 【解析】由已知可得 ，若在[2，+是增函数，则实数的范围是 ，则导函数在上恒成立，即. 在 上恒成立，而函数在上为单调递增，所以【考点】函数单调性在求最值的应用. 98. 已知函数 （Ⅰ）当时，判断函数的单调区间并给予证明； （Ⅱ）若 有两个极值点 ，证明： ． 【答案】（Ⅰ）证明详见解析；（Ⅱ）证明详见解析. 【解析】（Ⅰ）时，于是可利用导数的符号解决函数的单调性问题；（Ⅱ）因为有两个极值点，所以其导函数有两个零点， 又因为的导数为，可结合的性质确定的取值范围，写出函数在处所取极值的表达式及定义域，同样利用导数研究的单调性从而证明不等式 . 试题解析：（Ⅰ）从而（Ⅱ）即，得，得又所以，得 令， 12分 另解：当当当故当 时，时，时，时， 由两个实根需要 即 ， 由两个实根，所以所以所以 单调递减且单调递减且单调递增且，当 时．即 ， ，不能满足条件． ， ，当 ，从而可以构造函数解决不等式的证明． 时② ，所以 时， 易知 为单调减函数． ４分 有两个极值点 有两个实根． ． 6分 ， 8分 10分 ， ，所以 【考点】导数的运算以及应用导数研究函数的单调性、求函数的极值等问题. 99. 若定义在上的函数底数)的解集为（ ） A． 满足B． ， ，则不等式C． (为自然对数的 D． 【答案】A． 【解析】令，∴，∴ 在上 单调递增，又∵ ，∴ ，即不等式的解是 ． 【考点】导数的运用． 100. 设为函数 的导函数，已知 ，则下列结论正确的是A．在单调递增 B．在单调递减 C． 在上有极大值 D． 在 上有极小值 【答案】 【解析】 所以，又 ，得 ，即 所以 ，所以 在 单调递减 故答案选 【考点】1.导数的应用；2.构造函数. ） （
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