2012南昌大学第九届数学建模竞赛
承 诺 书
我们仔细阅读了南昌大学数学建模竞赛的竞赛规则。
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B中选择一项填写）： A .
报名序号是 ______53__________.
参赛队员(打印并签名) ： 所属院系（请填写完整的全名）： 1._ XXX__签名:_________________院系: ____XXX
2.___ XXX___签名:_________________院系: ____XXX
3.__XXX__签名:_________________院系: ___XXX______________
日期： 2012/5/29
2012南昌大学第九届数学建模竞赛
编 号 专 用 页
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评阅记录： 评 阅 人 备 注
A超市收银员合理排班
摘要：超市的顾客数和收银员数量是相互影响的，如果收银员数量偏少，
会使等待排队交费的人数偏多，顾客看到收银处排队人数很多就会放弃进入超市的意愿，甚至在超市内只购买一两件商品的顾客也会放弃购买意愿，而超市收银员的数量增多将增加超市的支出。综合考虑，我们对一超市的收银员排班进行了一下分析。本文主要进行了以下工作：
1、综合考虑影响超市收银员排班的各种因素，对各种影响因素之间的相
互关系根据题目所需值以及常识进行定性分析，然后根据题目中所提供的相关信息以及所调查的相关资料，踢出次要的影响因素得到影响收银员排班的主要因素。
2、由题目所提供的排班表及顾客情况知：工作日(星期一到星期五）与双休日各个时刻的顾客数目以及排班情况显然不同，所以本文对带该题目分为两部分处理。以下仅对工作日的数据进行分析,双休日的分析及模型建立与之相同 。
3、考虑到题目所给的条件有限，只是一个周的情况调查表，不具有充分的代表性，而且还具有其他多种因素影响并且各种因素都相互影响，所以在下面的模型建立及求解过程中我们应当进行适当的假设。
4、由数据得出时间与顾客数的数学模型。再得出顾客数与收银员之间的关系式及收银员的排班表，最后再将所得收银员排班表与题目所提供排班表进行对比，并得出最优的超市收银员排班表。
5、把离散的数子，用拟合法，变成连续，可导的函数。从尔在使Z（等待时间）波动性不大才合理，来检验安排表的合理。
关键词：收银员排班计划 函数拟合
一、 问题重述
超市的顾客数受收银员数量的影响，如果收银员数量偏少，会使等待排队交
费的人数偏多，顾客看到收银处排队人数很多就会放弃进入超市的意愿，甚至在超市内只购买一两件商品的顾客也会放弃购买意愿。表1是调查员对某一超市七天实际调查到的不同时刻收银员数量和正在排队等待交费的顾客人数，收银员每天工作时间不超过7小时及顾客接受服务的时间约0.8分钟到5分钟。为使顾客等待交费时间不宜过长，同时又要考虑超市企业聘用收银员的成本，请根据调查数据，建立数学模型，验证这个超市收银员的排班计划是否合理？如果安排不合理，请给该超市安排一份收银员的排班计划。
参考有关数据及相关资料对该超市收银员合理排班与否研究如下问题： 1.1、对相关统计数据进行分析，用适当的方法寻找不同的时刻顾客数的变化情况以及不同时刻收银员人数的变化情况。
1.2、建立不同时刻与顾客数以及收银员人数在内的主要因素或指标之间的数学模型。
1.3、利用所建立的关于收银员合理排班的数学模型来检验该超市所采用的排班模式是否合理。
1.4、如果该超市的收银员排班计划不合理，根据所建立的模型对其不合理的地方进行修改，为该超市制定出一套合理的排班计划。
二、 问题分析
通过对该超市的收银员排班计划的分析，我们遇到了一些困难，比如说，顾
客排队能够忍受的时间是多少，每个顾客所需要的服务时间具体是多少，排版合理的标准又是什么等等问题。题目所给出的相关条件都只是一些比较笼统的数据且彼此没有明显的相关性，数据之间是离散的，几乎都不能拿来直接利用。考虑到该题目的最终目的是检验收银员排班计划的合理与否，我们便从某时刻的顾客
数以及收银员的变化情况下手，分别找出了他们的内在联系进而建立模型。
2.1对于问题（1.1）的分析
本题要求找出不同时刻顾客数的变化情况以及收银员的变化情况，显然根据表格所给出的数据不能直接找出各个不同时刻，时间t与顾客数以及收银员人数的函数关系。在这里我们先分别用h（t）、g(t)将顾客数及收银员数进行表示。
-1-
2.2、对于问题（1.2）的分析
本题要求找出各主要因素之间的联系，但是根据相关数据可知，不同的时刻t与顾客数h（t)及顾客数与收银员数g(t)并无直接简单的函数关系。针对此问题的我们解决的方法是化零为整，将一段时间内的所有顾客所需要的时间、收银员上班时间分别累和。然后再用题目中所给约束条件“收银员每天工作时间不超过7小时顾客接受服务的时间约0.8分钟到5分钟。”对其进行约束。进而建立所需数学模型。
2.3、对于问题（1.3）的分析
本题要求根据所求模型对该超市的收银员排班计划进行合理性分析，就其所给的条件而言我们可以根据第二问所建立的具有一定的可靠性的数学模型进行检验。但显然题目所给的数据是很有限的，只是某一周的超市七天的统计情况，其并不具备相当充分的代表性。并且影响超市排班计划的因素还有很多，这些因素相互联系，相互影响，所以在求解过程中需要我们进行适当的假设。
2.4、对于问题（1.4）的分析
根据所制定的数学模型可以对其计划不合理的地方进行修改，进而给潮湿提供一份较为合理的收银员排班计划。
三、 模型假设
3.1、不考虑除去星期六及星期天节假日客流量对收银员排班计划的影响。
3.2、不考虑其他一些可变因素的影响。
3.3、超市的收银员数量足够。且每一个收银员的效率相同，两者之间不影响。
3.4、假设超市一直都有顾客，即收银员一直都在工作。且每一个顾客的效率相同，两者之间不影响。
3．5、排队规则是，顾客看着队伍少的就排。
3．6、不考虑收银员的累，或者中途休息。
四、 符号定义
g(t) 收银员的人数;
-2-
h(t) 顾客的人数:
t 为时刻的点数
k 最多的收银员数
x 一个顾客所需要接受服务的时间
z 某时刻进来一个顾客所需等待时间
五、 模型建立
建立 时刻T与 收银员的人数的函数关系：
设为：g(t)
建立 时刻T与 顾客的人数的函数关系：
设为：h(t)
则可得：
在（a,b）的时间内：
顾客的总时间=∫abh(t) dt
收银员的总的工作时间=∫abg(t)dt
0.8∫g(t)<∫h(t)<7*k X=∫g(t)/∫h(t) Z=[g(t)∕h(t)]*x
求出Z的关于t的函数，使得不管t取那时刻，Z的等待时间波动不大，即每时刻服务台的排队人数均衡
-3-
六、 模型求解
以时刻点t为X轴以顾客数为Y轴，从星期一到星期五描述函数曲线如下：
504030201000 y1y2y3y4y510155有上图可得从星期一到星期五的顾客数基本变化不大，所以我们把星期一到星期五的顾客数求取平均值，从而得到平均的工作日的每个时刻的顾客数如下表：
10
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 12 13 14
y=(y1+y2+y3+y4+y5)/5
22
7.2 5.7.19.6 11.2
4 8
5.2 11.6 15.6
1
17 13.2 0.
4
13 24.4 17
11.8
-4-
y 为星期一到星期五的平均每个时刻的人数如下：
以时刻点t为X轴以顾客数为Y轴，从星期六到星期天描述函数曲线如下
-5-
504030201000
y6y751015
有上图可得从星期一到星期五的顾客数基本变化不大，所以我们把星期一到星期五的顾客数求取平均值，从而得到平均的工作日的每个时刻的顾客数如下表：
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1
11 0
12 13
14
Y=(y6+y7)
/2 8.5 4433.4 2 5 13.5 12
15.5
16.5
14.5 23 324.4 5 35.5 25.5 17
Y 为星期六到星期天每个时刻的平均人数
-6-
七、 模型分析与推广
本模型是通过函数的拟合确定Z的关系，把离线的时刻点做为连续的，可导
的的T与服务人数的函数关系，G（X），H（X），从而建立Z=[g(t)∕h(t)]*x
的关系，得到到Z与X之间的关系，建立的Z于X的函数，对于Z的曲线波动性，我们使其在一定的范围内。
假设中
3.1、不考虑除去星期六及星期天节假日客流量对收银员排班计划的影响。
3.2、不考虑其他一些可变因素的影响。 3.3、超市的收银员数量足够。
3.4、假设超市一直都有顾客，即收银员一直都在工作。 -7-
从尔在修改中得到如理安排：
表2：收银员最优排班表
时间 8:00 9:00 10:00 11:00 12:00 13:00 14:00 15:00 16:00 17:00 18:00 19:00 20:00 21:00 22:00 星期一 6 8 8 6 5 5 7 7 6 6 6 8 8 8 6 星期二 6 8 8 6 5 5 7 7 6 6 6 8 8 8 6 星期三 6 8 8 6 5 5 7 7 6 6 6 8 8 8 6 星期四 6 8 8 6 5 5 7 7 6 6 6 8 8 8 6 星期五 6 8 8 6 5 5 7 7 6 6 6 8 8 8 6 星期六 6 10 10 8 7 6 6 6 6 6 8 8 10 10 6 星期天 6 10 10 8 7 6 6 6 6 6 8 8 10 10 6
尔实际生活中，安排又要考虑人性化，合里性。
八、 参考文献
薛定宇，陈阳泉.高等数学问题的MATLAB求解[M].清华大学出版社，2004.
排队系统 http://wenku.baidu.com/view/fe06771cfad6195f312ba6f5.html
排队原则 http://wiki.cnki.com.cn/HotWord/219391.htm
-8-
九、 附录
图一：
x=[0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14]; y=[7.2 25.4 27.8 19.6 11.2 5.2 11.6 15.6 17 13.2 10.4 13 24.4 17 11.8] plot(x,y,'r-.pentagram')
图二：
x=[0 1 2 3 4 5 6 7 y=[8.5 44 42 33.5 13.5 35.5 25.5 17];
plot(x,y,'r-.pentagram')
-9-
8 9 10 12 15.5 12 13 14];
14.5 23 34 24.511 16.5